Question

17．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°．重力加速度大小为g．
（1）若转台处于静止，求物体所受到的支持力和摩擦力；
（2）若ω=ω₀，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω₀．

Answer 1

分析 （1）若转台处于静止，则物体处于平衡状态，根据力的平衡条件求解；
（2）若ω=ω₀，小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小．

解答 解：（1）若转台处于静止，物体处于平衡状态，受力分析如图所示，根据力的平衡条件

x轴上合力为0：F_Nsin60°=F_fcos60°
y轴上合力为0：F_Ncos60°+F_fsin60°=mg
联立解得：F_N=$\frac{1}{2}$mg，F_f=$\frac{\sqrt{3}mg}{2}$．
（2）当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，受力分析如图所示，有

由牛顿第二定律得：mgtan60°=m${ω}_{0}^{2}$Rsin60°，
解得：ω₀=$\sqrt{\frac{2g}{R}}$．
答：（1）若转台处于静止，物体所受到的支持力为$\frac{1}{2}$mg，摩擦力为$\frac{\sqrt{3}mg}{2}$；
（2）小物块受到的摩擦力恰好为零时的角速度为$\sqrt{\frac{2g}{R}}$．

点评 解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解．