Question

4．如图所示，组装成“S”形的轨道平放在水平面上，Oa部分由薄壁细圆管弯成，固定在直角坐标平面xOy内，管口恰好落在原点O上，直径与Ox轴重合；ab部分半圆形轨道的半径r是可以调节的，直径也与Ox轴重合，两部分在a处圆滑连接．在xOy平面内有一足够大的匀强电场，场强大小E=2.0×105V/m，方向沿x轴负方向．一个质量m=0.01kg、带正电荷g=5×10^-7C的小球（可视为质点），以10m/s的速度从管口O点进入轨道，不计一切摩擦，小球运动过程中电量不变，取g=10m/s²．
（1）取r=1.6m时，发现带电小球恰好能从b处飞出，试求Oa部分的半径R；
（2）r取多大值，小球从b处飞出后，到达y轴上的位置（离原点）最远？
（3）现在O、b两点各放一个压力传感器，并计算出压力差△F；改变半径r的大小，重复实验，最后绘得△F-$\frac{1}{r}$图线如图所示，求直线在△F轴上的截距．

Answer 1

分析 （1）带电小球恰能能从b处飞出时，轨道对小球没有作用力，由电场力提供向心力，根据牛顿第二定律列式得到速度与半径r的关系式；小球从O到b，运用动能定理列式，联立求解R；
（2）小球从b处飞出轨道后，做类似平抛运动；对O到b过程根据动能定理列式；再对类似平抛运动根据分位移公式列式；最后联立求解即可；
（3）在O点，电场力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式；在b点，也是电场力和支持力的合力提供向心力，再次根据牛顿第二定律列式；对从O到b过程根据动能定理列式；最后联立求解即可．

解答 解：（1）小球从O运动到b，设到b点的速度为v_b，据动能定理有：
$-qE（2R+2r）=\frac{1}{2}mv_b^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
小球恰好过b点，即F_N=0，
则有：$qE=\frac{mv_b^2}{r}$
代入得：R=0.5m
（2）小球在b点离开轨道后，在电场力作用下做类平抛运动，
Y方向：y=v_bt
x（负）方向：$2R+2r=\frac{1}{2}a{t^2}$
又$a=\frac{qE}{m}$
解得：$y=4\sqrt{-{{（r-\frac{3}{4}）}^2}+\frac{25}{16}}$
显然，当r=0.75m时y坐标有最大值．     
（3）设小球在O、b两点的作用力分别为F_O和F_b，则有：${F_0}-qE=\frac{mv_0^2}{R}$
得：F₀=2.1N
${F_b}+qE=\frac{mv_b^2}{r}$
得：${F_b}=\frac{0.8}{r}-0.5$
$△F={F_O}-{F_b}=2.6-\frac{0.8}{r}$
所以截距为2.6N
答：答：（1）Oa部分的半径R为0.5m；
（2）r取0.75m时，小球从b处飞出后，到达y轴上的位置（离原点）最远为5m；
（3）△F-$\frac{1}{r}$图线的纵轴截距为2.6

点评 本题关键明确带电小球的运动规律，然后分段结合牛顿第二定律、动能定理和类平抛运动的分运动公式列式求解，不难．