Question

4．如图所示，在光滑的水平面上，有质量均为m的甲、乙两个相同的小球，两小球以相同的速率向左、右运动．甲球进入左侧粗糙的半圆形轨道后上升的最高位置P恰与圆心等高，乙球恰能通过右侧光滑的半圆轨道的最高点Q．两个半圆形轨道的半径均为R，则（　　）

• A． 甲球到达最高点的过程中损失的动能为$\frac{5}{2}mgR$
• B． 乙球在最高点的速度为0
• C． 甲球到达最高点的过程中克服摩擦力做的功为$\frac{3}{2}mgR$
• D． 乙球在运动过程中机械能守恒，在运动过程中受到的向心力大小不变

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求得甲乙两球在最高点的速度，然后由机械能守恒求得乙球的速度，进而得到向心力的变化，并求得初动能；再对甲球应用动能定理即可求得克服摩擦力做的功．

解答 解：B、乙球恰能通过右侧光滑的半圆轨道的最高点Q，那么乙在最高点时重力正好做向心力，则有$mg=\frac{m{{v}_{Q}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{Q}=\sqrt{gR}$，故B错误；
D、乙球在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，那么随着高度的增加，乙球的速度不断减小，所以，在运动过程中受到的向心力大小不断减小，故D错误；
A、对乙球的运动过程应用机械能守恒，则有：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{Q}}^{2}=\frac{5}{2}mgR$；
那么甲球的初动能${E}_{k0}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{5}{2}mgR$；
甲球进入左侧粗糙的半圆形轨道后上升的最高位置P恰与圆心等高，那么由牛顿第二定律可得：甲球在最高点的速度为零，故甲球到达最高点的过程中损失的动能为$\frac{5}{2}mgR$，故A正确；
C、对甲球运动过程应用动能定理可得：甲球到达最高点的过程中克服摩擦力做的功为${E}_{k0}-mgR=\frac{3}{2}mgR$，故C正确；
故选：AC．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．