题目内容

9．如图甲所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上．导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好．在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内．
（1）求导体棒所达到的恒定速度v2；
（2）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少？
（3）若t=0时磁场由静止开始水平向右做匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，其v-t关系如图乙所示，已知在时刻t导体棒瞬时速度大小为vt，求导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小．
（4）根据第（3）小题的条件，求导体棒开始运动时，磁场已移动的距离△x．

分析 （1）先由切割产生的感应电动势公式、欧姆定律和安培力公式，得到安培力与棒的速度关系表达式，由平衡关系可求得稳定速度；
（2）根据最大安培力与阻力相等求出阻力的最大值；
（3）由安培力与棒的速度关系表达式，对导体棒受力分析，由牛顿第二定律列式，即可求解加速度．
（4）根据导体棒开始运动时，安培力等于阻力求出此时的速度，抓住导体棒加速度和磁场加速度相等，结合速度位移公式求出磁场移动的距离．

解答 解：（1）导体棒所达到的恒定速度v2时，感应电动势为：E=BL（v1-v2），
则感应电流为：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$，
导体棒所受的安培力为：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$，
由于速度恒定时，则有：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$=f，
解得：v2=${v}_{1}-\frac{fR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过所受的最大安培力，即导体棒不动时，安培力最大为：
${F}_{A}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$，
解得阻力的最大值为：
f=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$．
（3）导体棒做匀加速直线运动，则$ma=\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}-f$，必有v1-v2为常数，设为△v，则：
$a=\frac{△v+{v}_{t}}{t}$，
则：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（at-{v}_{t}）}{R}-f=ma$，解得a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}vt+fR}{{B}^{2}{L}^{2}t-mR}$．
（4）导体棒做匀加速运动时受到的合力是定值，它切割磁感线产生的感应电动势、感应电流是一定的，说明导体棒与磁场的速度差是一定的，即导体棒做与磁场加速度相等的匀加速直线运动，
当导体棒开始运动时，安培力等于阻力，有：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}=f$
解得：v=$\frac{fR}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
则此时磁场已移动的距离为：△x=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{{f}^{2}{R}^{2}（{B}^{2}{L}^{2}t-mR）}{{2B}^{4}{L}^{4}（{B}^{2}{L}^{2}vt+fR）}$．
答：（1）导体棒所达到的恒定速度为${v}_{1}-\frac{fR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$．
（3）导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}vt+fR}{{B}^{2}{L}^{2}t-mR}$．
（4）导体棒开始运动时，磁场已移动的距离△x为$\frac{{f}^{2}{R}^{2}（{B}^{2}{L}^{2}t-mR）}{{2B}^{4}{L}^{4}（{B}^{2}{L}^{2}vt+fR）}$．

点评 由于磁场运动使得穿过回路的磁通量发生变化，回路中产生感应电流，导体棒受到安培力从而开始沿磁场运动方向做加速运动，需要注意的是使电路产生感应电动势的速度v2，不是导体棒的速度而是导体棒相对于磁场运动的速度，即两者速度之差v1-v2，这是解决本题的关键所在．

练习册系列答案
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