Question

17．如图，一质量M=1kg的足够长薄木板正在水平地面上滑动，当其速度为v₀=5m/s时将一质量m=1kg小铁块（可视为质点）无初速地轻放到木板的A端；已知薄木板与小铁块间的动摩撅因数μ₁=0.2，薄木板与地面间的动摩擦因数μ₂=0.3，g=10m/s²．求：
（1）小铁块放到薄木板后瞬间铁块和木板的加速度大小a₁、a₂；
（2）当小铁块速度刚好减小到零时，小铁块到A端的距离．

Answer 1

分析 （1）对M、m分别进行受力分析，根据牛顿第二定律求加速度
（2）刚开始小铁块相对于木板向左运动，速度相等以后相对于木板向右运动，最后M停止，m继续向右运动直到速度为0，根据牛顿第二定律和运动学公式分过程求解．

解答 解：（1）小铁块放到薄木板后瞬间，对小铁块和薄木板进行受力分析如图，根据牛顿第二定律，有
对小铁块${f}_{1}^{\;}={μ}_{1}^{\;}mg=m{a}_{1}^{\;}$①
对薄木板：${f}_{1}^{'}+{f}_{2}^{\;}=M{a}_{2}^{\;}$②
即μ${\;}_{1}^{\;}mg+{μ}_{2}^{\;}（M+m）g=M{a}_{2}^{\;}$
代入数据解得${a}_{1}^{\;}=2m/{s}_{\;}^{2}$
${a}_{2}^{\;}=8m/{s}_{\;}^{2}$
（2）设经过时间t，M、m的速度相等
${a}_{1}^{\;}t={v}_{0}^{\;}-{a}_{2}^{\;}t$
代入数据解得t=0.5s
速度相等时v=1m/s
这段时间内m的位移${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}=0.25m$
M的位移${x}_{2}^{\;}={v}_{0}^{\;}t-\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{\;}^{2}=1.5m$
m相对于M向左运动$△x={x}_{2}^{\;}-{x}_{1}^{\;}=1.25m$=$\frac{5}{4}m$
速度相等后，假设M、m相对静止，一起匀减速运动，加速度为${a}_{3}^{\;}$
${μ}_{2}^{\;}（M+m）g=（M+m）{a}_{3}^{\;}$
${a}_{3}^{\;}={μ}_{2}^{\;}g=3m/{s}_{\;}^{2}$
m不可能与M相对静止，因为${μ}_{1}^{\;}g＜{a}_{3}^{\;}$
所以m继续向右匀减速运动，设经过时间t'速度减为0
$t'=\frac{v}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{1}{2}s$
对M${μ}_{2}^{\;}（M+m）g-{μ}_{1}^{\;}mg=M{a}_{2}^{′}$
解得${a}_{2}^{′}=4m/{s}_{\;}^{2}$
M经过t″速度减为0
$t″=\frac{v}{{a}_{2}^{′}}=\frac{1}{4}s$
m的位${x}_{1}^{′}=vt″-\frac{1}{2}{a}_{1}^{′}t{″}_{\;}^{2}=\frac{3}{16}m$
M的位移${x}_{2}^{′}=vt″-\frac{1}{2}{a}_{2}^{′}t{″}_{\;}^{2}=\frac{1}{8}m$
m相对于M向右运动$△x′={x}_{1}^{′}-{x}_{2}^{′}=\frac{1}{16}m$
经$\frac{1}{4}s$时m的速$v′=v-{a}_{1}^{′}t″=\frac{1}{2}m/s$
M停止后m继续匀减速直到停止${x}_{1}^{″}=\frac{v{′}_{\;}^{2}}{2{a}_{1}^{′}}=\frac{（\frac{1}{2}）_{\;}^{2}}{2×2}=\frac{1}{16}m$
小铁块到A端的距离$l=△x-△x′-{x}_{1}^{″}=\frac{5}{4}-\frac{1}{16}-\frac{1}{16}=\frac{9}{8}$m
答：（1）小铁块放到薄木板后瞬间铁块和木板的加速度大小分别为$2m/{s}_{\;}^{2}$、$8m/{s}_{\;}^{2}$
（2）当小铁块速度刚好减小到零时，小铁块到A端的距离$\frac{9}{8}m$．

点评 本题考查牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，关键是受力分析，分析清楚物体的运动的情景．