Question

2．宇宙空间有一些星系距离其它星体的距离非常遥远，可以忽略其它星系对它们的作用．今有四颗星体组成一稳定星系，在万有引力作用下运行，其中三颗星体A、B、C位于边长为a的正三角形的三个顶点上，沿外接圆轨道做匀速圆周运动，第四颗星体D位于三角形外接圆圆心，四颗星体的质量均为m，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）

• A． 星体A受到的向心力为（3+$\sqrt{3}$）$\frac{{G{m^2}}}{a^2}$
• B． 星体A受到的向心力为（3+2$\sqrt{3}$）$\frac{{G{m^2}}}{a^2}$
• C． 星体B运行的周期为2πa$\sqrt{\frac{a}{{（1+3\sqrt{3}）Gm}}}$
• D． 星体B运行的周期为2πa$\sqrt{\frac{a}{{（3+\sqrt{3}）Gm}}}$

Answer 1

分析 每颗星做匀速圆周运动，靠另外三颗星万有引力的合力提供向心力，具有相同的角速度，根据合力等于向心力求出周期．

解答 解：AB、每颗星做匀速圆周运动，靠另外三颗星万有引力的合力提供向心力，故：
F_n=F_ABcos30°+F_AD+F_ACcos30°=$\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{G{m}^{2}}{（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}$+$\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=（3+$\sqrt{3}$）$\frac{{G{m^2}}}{a^2}$   ①
故A正确，B错误；
CD、万有引力提供向心力，故：
F_n=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a）$     ②
联立①②解得：
T=2πa$\sqrt{\frac{a}{3（1+\sqrt{3}）Gm}}$
故C错误，D错误；
故选：A

点评 解决该题首先要理解模型所提供的情景，然后能够列出合力提供向心力的公式，才能正确解答题目．