Question

1．如图，在xoy平面内，第一象限内存在着方向垂直于xoy平面向里的匀强磁场，第二象限内存在着平行于x轴的匀强电场（图中未画出），一质量为m，电荷量为-q的粒子（不计重力），从直角坐标系x轴上的M点以v₀的速度平行于y轴正方向射出，M点距坐标原点的距离为d，带电粒子经电场偏转后从y轴上N点进入第一象限，N点距坐标原点的距离为2d，带电粒子通过第一象限的磁场后，垂直于x轴进入第四象限．求：
（1）电场强度E的大小和方向；
（2）磁感应强度为B的大小和粒子在第一象限运动的时间；
（3）若要使带电粒子从第四象限垂直于y轴进入第三象限，在第四象限内加有一圆形区域的匀强磁场，磁场方向垂直于xoy平面向里，所加磁场的磁感应强度是第一象限磁感应强度的两倍，求此圆形区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出电场强度．
（2）求出粒子在磁场中转过的圆心角，然后根据粒子做圆周运动的周期求出粒子的运动时间．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律与几何知识求出磁场的最小半径，然后求出最小面积．

解答 解：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，设其运动的时间为t
则有：2d=v₀t，d=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qd}$；
带电粒子受力方向向右，粒子带负电，因此电场方向应为x负方向；
（2）带电粒子运动至N点时，其竖直速度：v_y=v₀，水平速度：v_x=at=v₀，
故带电粒子运动至N点时的速度：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，方向：与y轴成45⁰夹角；
又带电粒子垂直于x轴进入第四象限，由几何知识可知（如图所示），
带电粒子在第一象限做圆周运动的圆心在x轴上，其运动半径：R=2$\sqrt{2}$d，
带电粒子在第一象限转过的圆心角为135°；
因此，带电粒子在第一象限的运动时间为：t′=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{135°}{360°}$×$\frac{2πR}{v}$=$\frac{3πd}{2{v}_{0}}$；
（3）要使带电粒子从第四象限垂直于y轴进入第三象限，则带电粒子在磁场中必定转过90°，如图所示，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{mv}{qB}$，第四象限内磁感应强度是第一象限磁感应强度的两倍，
因此带电粒子在第四象限中运动的半径为$\frac{R}{2}$，所以所加圆形磁场的最小半径为：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{R}{2}$=d，
因此此圆形区域的最小面积为：S_min=πr²=πd²．
答：（1）电场强度E的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qd}$，方向：沿x轴负方向；
（2）磁感应强度为B的大小和粒子在第一象限运动的时间为$\frac{3πd}{2{v}_{0}}$；
（3）此圆形区域的最小面积为πd²．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程是解题的前提与关键，应用牛顿第二定律与粒子做圆周运动的周期公式可以解题；解题时注意几何知识的应用；处理带电粒子在磁场中运动的基本思路是：作出运动轨迹，确定圆心，求半径、求圆心角，然后应用牛顿第二定律求解．