Question

10．如图所示，圆心为原点、半径为R的圆将xOy平面分为两个区域，即圆内区域Ⅰ和圆外区域Ⅱ．区域Ⅰ内有方向垂直于xOy平面的匀强磁场B₁．平行于x轴的荧光屏垂直于xOy平面，放置在坐标y=-2.2R的位置．一束质量为m、电荷量为q、动能为E₀的带正电粒子从坐标为（-R，0）的A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ，当区域Ⅱ内无磁场时，粒子全部打在荧光屏上坐标为（0，-2.2R）的M点，且此时，若将荧光屏沿y轴负方向平移，粒子打在荧光屏上的位置不变．若在区域Ⅱ内加上方向垂直于xOy平面的匀强磁场B₂，上述粒子仍从A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ，则粒子全部打在荧光屏上坐标为（0.4R，-2.2R）的N点．求
（1）打在M点和N点的粒子运动速度v₁、v₂的大小．
（2）在区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度B₁、B₂的大小和方向．
（3）若将区域Ⅱ中的磁场撤去，换成平行于x轴的匀强电场，仍从A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ的粒子恰好也打在荧光屏上的N点，则电场的场强为多大？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中洛伦兹力不做功，粒子的动能不变，根据动能的大小求出粒子的速度大小．
（2）抓住粒子全部打在荧光屏上坐标为（0，-2.2R）的M点，根据荧光屏沿y轴负方向平移，粒子打在荧光屏上的位置不变，得出粒子在磁场区域Ⅰ中的轨迹，结合半径公式求出磁场的磁感应强度大小，根据偏转方向确定磁场的方向；根据粒子全部打在荧光屏上坐标为（0.4R，-2.2R）的 N点，作出轨迹，根据几何关系求出半径，从而得出磁感应强度的大小和方向．
（3）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出电场强度E．

解答 解：（1）粒子在磁场中运动时洛伦兹力不做功，打在M点和N点的粒子动能均为E₀，
速度v₁、v₂大小相等，设为v，由E₀=$\frac{1}{2}$mv²，解得：v=$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{m}}$；
（2）如图所示，区域Ⅱ中无磁场时，粒子在区域Ⅰ中运动四分之一圆周后，
从C点沿y轴负方向打在M点，轨迹圆心是O₁点，半径为：r₁=R，
区域Ⅱ有磁场时，粒子轨迹圆心是O₂点，半径为r₂，由几何关系得：
r₂²=（1.2R）²+（r₂-0.4R）²，解得：r₂=2R，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{mv}{qr}$，
故B₁=$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{qR}$，方向：垂直xoy平面向外．
B₂=$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{2qR}$，方向：垂直xoy平面向里．
（3）区域Ⅱ中换成匀强电场后，粒子从C点进入电场做类平抛运动，
则有：1.2R=vt，0.4R=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，解得：E=$\frac{10{E}_{0}}{9qR}$；
答：（1）打在M点和N点的粒子运动速度v₁、v₂的大小均为$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{m}}$．
（2）在区域I和II中磁感应强度B₁的大小为：$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{qR}$，方向：垂直xoy平面向外，B₂的大小为：$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{2qR}$，方向：垂直xoy平面向里．
（3）电场的场强为大小为$\frac{10{E}_{0}}{9qR}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，处理带电粒子在磁场中的运动问题，关键作出粒子的运动轨迹，确定圆心、半径和圆心角是基础，通过半径公式和周期公式，结合几何关系进行求解．
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动解题一般程序是：
  1、画轨迹：确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹．
  2、找联系：轨迹半径与磁感应强度、速度联系；偏转角度与运动时间相联系，时间与周期联系．
  3、用规律：牛顿第二定律和圆周运动的规律．