题目内容
6．
如图所示，一个带正电的粒子沿磁场边界从A点射入左侧磁场，粒子质量为m，电荷量为q，其中区域Ⅰ、Ⅲ内是垂直纸面向外的匀强磁场，左边区域足够大，右边区域宽度为1.3d，磁感应强度大小均为B，区域Ⅱ是两磁场间的无场区，两条竖直虚线是其边界线，宽度为d；粒子从左边界线A点射入磁场后，经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域后能回到A点，若粒子在左侧磁场中的半径为d，整个装置在真空中，不计粒子的重力．（1）分析粒子从A点射入方向？
（2）求粒子从A点射出到回到A点经历的时间t；
（2）若其他条件不变，若在区域Ⅱ内加水平向右的匀强电场，粒子仍能回到A点，求电场强度E大小应满足的条件？
分析 （1）关于粒子入射方向的判定，涉及到的数学知识比较多，根据左手定则粒子顺时针方向做匀速圆周运动，可以假设以任意角入射，划过一道圆弧后竖直向上偏离一定的距离，进入Ⅱ区做匀速直线运动也向上偏离一定的距离，进入Ⅲ区后做匀速圆周运动，就要竖直向下偏离一定的距离，离开Ⅲ再进入Ⅱ区时要竖直向上偏离，即三次向上，一次向下，对比向上和向下的总距离就可以知道偏离的总距离，只有总距离为零，才能回到A点．要注意的是由对称性进入和离开磁场时与边界的夹角均相同，总距离也不难求出．
（2）由（1）的结论，只有垂直入射才能回到A点．在两个磁场区的总时间恰恰为做匀速圆周运动的一个周期，由洛仑兹力提供向心力和运动学公式能求出在磁场中的时间．在Ⅱ区内两次做匀速直线运动，时间也能求出．
（3）若在Ⅱ区内加水平向的电场，则粒子进入后将加速，速度越大，进入Ⅲ区后做匀速圆周运动的半径也越大，最大半径为1.3d，所以最大速度也能求出，从而求出在Ⅱ区所加匀强电场的最大值．
解答 解：（1）若粒子入射与边界向上的夹角为任意角α，如图所示是粒子在三个区域的轨迹，
则粒子在Ⅰ区的轨迹是一段半径为R的圆弧，由几何关系在Ⅱ区做匀速直线运动运动后向上偏离：
x1=dcotα+2Rcosα．
进入Ⅲ区后的运动轨迹也是半径为R的一段劣弧，第二次进入Ⅱ区做匀速直线运动向上偏离的距离：
x2=2Rsinα-dcotα．
要使粒子能回到A点，则x1=x2，由此得到只有：
cotα=0，则α=90°．
（2）由牛顿第二定律和运动学公式有：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$ ①
$T=\frac{2πR}{v}$ ②
所以粒子在三个区域运动的总时间：
${t=t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{1}{2}T+2×\frac{d}{{v}_{0}}+\frac{1}{2}T=\frac{2πm}{qB}+\frac{2d}{{v}_{0}}$
（3）粒子垂直进入Ⅱ区后经过电场加速，做匀加速直线运动以v的速度进入Ⅲ区做匀速圆周运动中，由几何关系：
R≤1.3d ④
在电场中加速时据运动定理：
$Edq=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$ ⑤
联立以上①④⑤得：E≤$\frac{1.69{B}^{2}{q}^{2}{d}^{2}-{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{2qdm}$
答：（1）粒子从A点射入方向应该垂直于边界．
（2）粒子从A点射出到回到A点经历的时间为$\frac{2πm}{qB}+\frac{2d}{{v}_{0}}$．
（3）若其他条件不变，若在区域Ⅱ内加水平向右的匀强电场，粒子仍能回到A点，则电场强度E≤$\frac{1.69{B}^{2}{q}^{2}{d}^{2}-{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{2qdm}$．
点评 本题的靓点在第（1）问，从经验上看若不是垂直入射，则肯定不能回到A点，但从理论上推断是否能回到A点，还需要从数学的角度求出向上和向下偏离的距离；另外还需要说明的是本题从头到尾没有告诉速度，粒子在Ⅱ区内做匀速直线运动的时间求不出来，所以本题差一条件，根据推断应该差的是初速度，所以解题时设初速度是已知的．
如图所示，一质量为m，带电量为q的负离子，以速率V垂直射入一匀强磁场区，磁感应强度为B，方向如图中所示，经一段时间达到图中的P点，则这一段间为（不计离子重力）（ ）| A． | $\frac{mθ}{2qB}$ | B． | $\frac{mθ}{qB}$ | C． | $\frac{2mθ}{qB}$ | D． | $\frac{4mθ}{qB}$ |
一带电质点，质量为m，电荷量为q，以与y轴成300角的速度v从y轴上的a点进入如图中第一象限所在区域，为了使该质点能从x轴的b点以与x轴成600角的速度射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面，磁感应强度为B的匀强磁场，若此磁场仅分布在一个圆形区域内．试求这个圆形磁场区域的最小半径（质点的重力忽略不计）．
如图，在xoy平面内，第一象限内存在着方向垂直于xoy平面向里的匀强磁场，第二象限内存在着平行于x轴的匀强电场（图中未画出），一质量为m，电荷量为-q的粒子（不计重力），从直角坐标系x轴上的M点以v0的速度平行于y轴正方向射出，M点距坐标原点的距离为d，带电粒子经电场偏转后从y轴上N点进入第一象限，N点距坐标原点的距离为2d，带电粒子通过第一象限的磁场后，垂直于x轴进入第四象限．求：
如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个质量和电量均相同的正、负离子（不计重力），从点O以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则关于正、负离子在磁场中的运动，下列说法错误的是（ ）| A． | 运动轨迹的半径相同 | |
| B． | 运动时间相同 | |
| C． | 重新回到边界时的速度的大小和方向相同 | |
| D． | 重新回到边界的位置与O点距离相等 |
| A． | I1增大，I2不变，U增大 | B． | I1减小，I2增大，U减小 | ||
| C． | I1增大，I2减小，U增大 | D． | I1减小，I2不变，U减小 |