Question

6．如图甲所示，两根平行金属导轨MN、PQ固定在倾角为θ的绝缘斜面上，顶部接有一阻值为R的定值电阻，下端开口，轨道间距为L，图甲中虚线所示边长为L的正方形区域内存在垂直斜面向上的匀强磁场，磁场与导轨重合的两边界的中点分别为a、b，在t=0时刻将质量为m的金属棒无初速放置于导轨上与ab连线重合的位置（电路中除电阻R外其余部分电阻不计，金属棒沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好，不计空气阻力，设在以下讨论的过程中金属棒始终在磁场区域内），请分别针对下列两种情况求解：
（1）若导轨光滑，磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示，求金属棒中电流的方向和金属棒在磁场中运动的最大速度v_m；
（2）若金属棒与导轨间动摩擦因数为μ（?＞tanθ），磁感应强度B随时间t变化的图象如图丙所示，求t=0时刻穿过回路MPba的磁通量Ф和金属棒开始运动时刻的磁感应强度B．

Answer 1

分析 （1）由左手定则即可判断出电流的方向，当安培力等于重力向下的分力时，向下的速度最大，由此即可求出；
（2）没有磁场时，金属棒静止；由磁通量的定义式即可求出磁通量的大小，然后由法拉第电磁感应定律，结合欧姆定律即可求出．

解答 解：（1）当导轨光滑时，金属棒将沿导轨下滑，由右手定则可判断出电流方向从b指向a
当安培力等于重力向下的分力时，即：mgsinθ=F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$时达到最大速度v_m，
整理得：v_m=$\frac{mgRsinθ}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$
（2）由于金属棒与导轨间动摩擦因数?＞tanθ，所以如果没有外加磁场时金属棒在重力、支持力、摩擦力的作用下满足：
mgsinθ＞μmgcosθ，将静止于导轨上．
t=0时刻，B=B₀，穿过回路MPba的磁通量：Φ=BS=$\frac{{B}_{0}L}{2}$
由法拉第电磁感应定律得：$E=\frac{△Φ}{△t}$
通过回路的电流I=$\frac{E}{R}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{（{B}_{1}-{B}_{0}）{L}^{2}}{2R{t}_{1}}$   ①
金属棒受到的安培力方向沿斜面向上，大小为：F_安=BIL   ②
磁感应强度B随时间增大时，安培力随之增大，在这个过程中静摩擦力的方向先是沿斜面向上逐渐减小到零再反向增大到最大值，这个过程中金属棒都保持静止．
因此，当满足：F_安=mgsinθ+μmgcosθ   ③时，金属棒开始运动
将①②③式联立，解得金属棒开始运动时的磁感应强度：
B=$\frac{2R{t}_{1}（mgsinθ+μmgcosθ）}{（{B}_{1}-{B}_{0}）{L}^{3}}$
答：（1）若导轨光滑，磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示，金属棒中电流的方向从b指向a，金属棒在磁场中运动的最大速度为$\frac{mgRsinθ}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（2）求t=0时刻穿过回路MPba的磁通量为$\frac{{B}_{0}L}{2}$，金属棒开始运动时刻的磁感应强度为$\frac{2R{t}_{1}（mgsinθ+μmgcosθ）}{（{B}_{1}-{B}_{0}）{L}^{3}}$．

点评 电磁感应常常与能量及受力结合，在分析此类问题时要注意物体的运动状态，从而灵活地选择物理规律求解．