Question

2．如图所示，截面为半圆形的透明圆柱体其折射率为n，圆心为O点，半圆柱体的圆弧部分外表面涂上水银层，可将光线在圆柱面的内表面全部反射．现有一束细光线从直径AB上的M点以入射角θ射入圆柱体的AB界面，经球面反射后恰好在AB界面上的N点发生全反射，设MO长为l₁，ON长为l₂，求：$\frac{{l}_{1}}{{l}_{2}}$=？

Answer 1

分析 光线恰好在AB界面上的N点发生全反射，入射角等于临界角C，由sinC=$\frac{1}{n}$求得临界角C的正弦值．光线在M点发生折射，由折射定律列式，结合几何关系求解．

解答 解：设从M点入射的光线的折射角为r，从N点全反射的光线的入射角为C，由折射定律：
从N点全反射的光线：$\frac{sin90°}{sinC}$=n
得：sinC=$\frac{1}{n}$
则有：cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\sqrt{1-\frac{1}{{n}^{2}}}$ 
M点入射的光线，由折射定律有：$\frac{sinθ}{sinα}$=n
有：cosr=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\sqrt{1-\frac{si{n}^{2}θ}{{n}^{2}}}$
设圆的半径为R，在△NPO中由正玄定理
有：$\frac{R}{sin（90°-C）}$=$\frac{{l}_{2}}{sinα}$
同理在△MPO中：$\frac{R}{sin（90°-r）}$=$\frac{{l}_{1}}{sinα}$
所以$\frac{{l}_{1}}{{l}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}-si{n}^{2}θ}}$
答：$\frac{{l}_{1}}{{l}_{2}}$为$\sqrt{\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}-si{n}^{2}θ}}$．

点评 本题主要要掌握光的折射定律和全反射临界角公式，能灵活运用几何知识帮助解决几何光学问题．