Question

2．如图所示，ABC为一个竖直固定的半径为R的四分之三圆环管道，管道内壁光滑，内径远远小于圆环半径，计算中可以忽略，DE是一个光滑的水平桌面．质量为m的小球直径略小于管道内径，通过一根穿过管道的轻线连接一质量为3m的物块．初开始物块在桌面上位于C点正下方的P点，小球在管道最低点A处，线处于张紧状态，测得线的总长度为L=$\frac{5}{2}$πR，现在突然给物块一个水平向左的初速度，物块将向左运动而带动小球上升，当小球到达最高点B时，管道的外壁对小球有一个向内的大小为N=3mg的弹力． 
（1）小球在最高点的速度v₁=？
（2）在小球上升到最高点的过程中，线的拉力对小球做了多少功？
（3）物块开始运动的初速度v₀=？

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求解；
（2）对小球上升到最高点的运动过程应用动能定理求解；
（3）由速度的合成根据小球的速度求得物块的速度，然后对系统整个运动过程应用机械能守恒求解．

解答 解：（1）当小球到达最高点B时，管道的外壁对小球有一个向内的大小为N=3mg的弹力，对小球应用牛顿第二定律可得：
$N+mg=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}=2\sqrt{gR}$；
（2）在小球上升到最高点的过程中，只有重力和绳子拉力做功，故有动能定理可得：线的拉力对小球做的功W有：
$W-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-0=2mgR$；
解得：W=4mgR；
（3）线的总长度为L=$\frac{5}{2}$πR，故C点的高度为πR，当小球到最高点时，物块到C的距离为2πR，那么，绳子与竖直方向的夹角为60°，所以，物块的速度为：
$v=\frac{{v}_{1}}{sin60°}=\frac{4}{3}\sqrt{3gR}$；
物块和小球运动过程没有外力做功，机械能守恒，故有：
$\frac{1}{2}•3m•{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}•3m•{v}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+2mgR$=8mgR+2mgR+2mgR=12mgR；
解得：${v}_{0}=2\sqrt{2gR}$；
答：（1）小球在最高点的速度v₁=$2\sqrt{gR}$；
（2）在小球上升到最高点的过程中，线的拉力对小球做了4mgR的功；
（3）物块开始运动的初速度v₀=$2\sqrt{2gR}$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．