Question

7．如图所示，光滑弧形轨道的下端与光滑竖直圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动．观察发现，只要h大于一定的值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点．
（1）若已知轨道半径为R，h至少要等于多大小球可以顺利通过圆轨道最高点．
（2）若h为某一足够大的值（h、R未知），质量为m小球通过竖直圆轨道最高点时轨道对小球的支持力为F₁，通过竖直圆轨道最低点时轨道对小球的支持力F₂，求F₂-F₁等于多少？

Answer 1

分析 （1）对小球在圆轨道最高点应用牛顿第二定律求得速度范围，然后由机械能守恒求得h范围，即可求得最小值；
（2）对小球在最低点、最高点分别应用牛顿第二定律求得支持力的表达式，然后根据小球在圆轨道上运动机械能守恒求解．

解答 解：（1）小球要能通过圆轨道最高点，那么在最高点由牛顿第二定律可得：$mg≤\frac{m{v}^{2}}{R}$；
小球从静止运动到圆轨道最高点的过程只有重力做功，故机械能守恒，则有：$mgh=2mgR+\frac{1}{2}m{v}^{2}≥\frac{5}{2}mgR$，所以，$h≥\frac{5}{2}R$；
（2）设小球在最高点的速度为v₁，那么，由牛顿第二定律可得：${F}_{1}+mg=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}$；
设小球在最低点的速度为v₂，那么，由牛顿第二定律可得：${F}_{2}-mg=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{R}$；
小球从最低点运动到最高点只有重力做功，机械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+2mgR$；
所以，${F}_{2}-{F}_{1}=2mg+\frac{m（{{v}_{2}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}）}{R}$=$2mg+\frac{4mgR}{R}=6mg$；
答：（1）若已知轨道半径为R，h至少要等于$\frac{5}{2}R$小球可以顺利通过圆轨道最高点；
（2）若h为某一足够大的值（h、R未知），质量为m小球通过竖直圆轨道最高点时轨道对小球的支持力为F₁，通过竖直圆轨道最低点时轨道对小球的支持力F₂，求F₂-F₁等于6mg．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．