Question

12．雪橇运动在北方很受人们欢迎，其简化模型如图所示．倾角θ=37°的直线雪道AB与曲线雪道BCDE在B点平滑连接，其中A、E两点在同一水平面上，雪道最高点C所对应的圆弧半径R=10m，B、C两点距离水平面AE的高度分别为h₁=18m、h₂=18.1m，雪橇与雪道间的动摩擦因数μ=0.1．游客可坐在电动雪橇上由A点从静止开始向上运动．若电动雪橇以恒定功率P=1.03kW工作t=10s时间后自动关闭，则雪橇和游客（总质量M=50kg）到达C点时的速度v_C=1m/s，到达E点时的速度v_E=9m/s．已知雪橇运动过程中不脱离雪道，sin37°=0.6，重力加速度g取10m/s²．
（1）求雪橇在C点时对雪道的压力；
（2）求雪橇在BC段克服摩擦力做的功；
（3）求雪橇和游客的整体从C点运动到E点过程中损失的机械能；
（4）若仅将DE段改成与曲线雪道CD段平滑连接的倾斜直线轨道（如图中虚线所示），则雪橇和游客的整体从C点运动到E点过程中损失的机械能将增加还是减少？请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）选雪橇和游客的整体为研究对象，对其运动到C点进行受力分析，运用牛顿第二定律即可求出雪橇在C点时对雪道的压力；
（2）从A到C对雪橇和游客的整体运用动能定理，即可求出雪橇在BC段克服摩擦力做的功；
（3）对整体从C到E运用动能定理，求出摩擦力做功，根据功能原理即可求出C点运动到E点过程中损失的机械能；
（4）运用微积分思想求出曲线轨道上摩擦力做功，与倾斜直线轨道上摩擦力做功做比较，即可判断雪橇和游客的整体从C点运动到E点过程中损失机械能的情况．

解答 解：（1）设C点轨道对雪橇的支持力为N_C，根据牛顿第二定律可得：N_C-Mg=M$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：N_C=Mg+M$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$=50×10+50×$\frac{{1}^{2}}{10}$N=505N
根据牛顿第三定律可得，雪橇在C点时对雪道的压力：N_C′=N_C=505N
（2）设雪橇在BC段克服摩擦力做的功为W_BC，
从A到C对雪橇和游客的整体运用动能定理可得：Pt-Mgh₂-μMg•$\frac{{h}_{1}}{sinθ}$•cosθ-W_BC=$\frac{1}{2}M{v}_{C}^{2}$
解得：W_BC=25J
（3）对整体从C到E运用动能定理可得：Mgh₂-W_CE=$\frac{1}{2}M{v}_{E}^{2}$-$\frac{1}{2}M{v}_{C}^{2}$
从C到E克服摩擦力做功：W_CE=7050J
所以整体从C点运动到E点过程中损失的机械能：W_损=W_CE=7050J
（4）设D到E的水平距离为L，
平滑连接的倾斜直线轨道倾角为θ，摩擦力做功：W_f1=-μmgcosθ•$\frac{L}{cosθ}$=μmgL

曲线轨道上任选极短一段如图所示，将这一小段近似看成倾角为α的倾斜直线轨道，该端轨道在水平方向上的投影长为△x，
则摩擦力在该段轨道上做功：W_f=-μmgcosα•△x$\frac{1}{cosα}$=μmg△x
所以整个曲线轨道摩擦力做功等于每一小段摩擦力做功的累加，即：W_f2=-μmg∑△x=μmgL
故两轨道的摩擦力做功相同：W_f1=W_f2=△E_损
所以雪橇和游客的整体从C点运动到E点过程中损失的机械能相同．
答：（1）雪橇在C点时对雪道的压力为505N；
（2）雪橇在BC段克服摩擦力做的功为25J；
（3）雪橇和人的整体从C点运动到E点过程中损失的机械能为7050J；
（4）若仅将DE段改成与曲线雪道CD段平滑连接的倾斜直线轨道，则雪橇从C点运动到E点过程中损失的机械能不变，证明过程见解析．

点评 本题考查动能定理的综合运用，解题关键是要分好过程，明确每一个过程的运动形式，选择合适的规律解决问题，注意运用W=Pt去求解功率恒定的变力做功；注意理解体会第（3）问中运用的微积分思想．