Question

3．如图所示，与质量为m=2kg的小物块初速为零的轻放在水平匀速运动的传送带上的A点，随传送带运动到B点，小物块从C点沿圆弧切线进入竖直的半圆轨道恰能做圆周运动，已知圆弧半径R=1.5m，轨道最低点为D，D点距水平面的高度h=5m．小物块离开D点后（只有D点下区域有风），由于受到恒定的水平风力的作用，球竖直地落入距击球点水平距离为L=3.75m的E点．已知小物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.3，传送带以5m/s恒定速率顺时针转动，g=10m/s²．求：
（1）传送带AB两端的距离
（2）经过D点时对轨道的压力的大小
（3）小物块离开D点运动过程中的最小速度的大小．

Answer 1

分析 （1）小物块从C点沿圆弧切线进入竖直光滑的半圆轨道恰能做圆周运动，知物块对轨道的压力恰好为零，根据重力提供向心力求出C点的速度，再根据牛顿第二定律求出物块在传送带上运动的加速度，根据运动学公式求出传送带AB两端的距离．
（2）对小物块从D到E的过程运用运动的合成和分解，再针对水平方向和竖直方向运用运动学公式，即可求出小物块运动至D点的速度，对D点运用牛顿第二定律和牛顿第三定律，即可求出经过D点时对轨道的压力的大小；
（3）根据在D点的速度，运用运动的合成和分解以及几何关系，当沿合力方向的速度减小为零时，物体的速度最小，最小值即为垂直合力方向的速度．

解答 解：（1）物块在C点恰好做圆周运动，重力提供向心力，根据牛顿第二定律：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
可得：v_C=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{15}$m/s
因为v_C＜5m/s，从A到C做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律：
μmg=ma
可得：a=μg=3m/s²
根据运动学规律可得：x_AB=$\frac{{v}_{C}^{2}}{2a}$=2.5m
（2）从D到E做曲线运动，运用运动的合成和分解，根据运动学规律可得：
竖直方向：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向：L=$\frac{0+{v}_{D}}{2}•t$
解得：v_D=7.5m/s
对D点运用牛顿第二定律可得：N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
根据牛顿第三定律可得，对轨道的压力：N′=N=95N
（3）建立如图所示坐标系，设风力大小为f，f与重力mg的合力如图所示，

从D到E的过程，沿合力方向做匀减速直线运动，初速度v_Dcosθ，
垂直合力方向物体做匀速直线运动，速度大小为v_Dsinθ，保持不变，
沿合力方向的分速度v_Dcosθ减为0时，小物块速度取到最小值，故最小速度：v_min=v_Dsinθ
设水平方向的加速度为a，
水平方向，根据运动学规律：v_D=at，可得：a=$\frac{{v}_{D}}{t}$=7.5m/s²
水平方向，根据牛顿运动定律可得：f=ma=15N
根据几何关系可得：tanθ=$\frac{mg}{f}$=$\frac{20}{15}$=$\frac{4}{3}$
所以θ=53°，sinθ=$\frac{4}{5}$
所以最小速度：v_min=v_Dsinθ=7.5×$\frac{4}{5}$m/s=6m/s
答：（1）传送带AB两端的距离为2.5m；
（2）经过D点时对轨道的压力的大小为95N；
（3）小物块离开D点运动过程中的最小速度的大小为6m/s．

点评 本题考查动能定理的综合运用，解题的关键是要理清物块的运动，物块经历了匀加速直线运动，圆周运动和类抛体运动，根据牛顿第二定律、动能定理以及运动学公式综合求解，第（3）问的关键是要找到速度最小的条件，即：沿合力方向的速度减小为0时，物体的速度最小．