Question

9．现代物理经常用磁场来研究同位素粒子，在xoy坐标系内有垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．现有电荷量均为+q的a、b两粒子从坐标原点O以相同速率v同时射入磁场，a沿x轴正方向，b沿y轴正方向，a粒子质量为m，b粒子质量为2m，不计粒子重力以及粒子间相互作用，求：
（1）当a粒子第1次刚到达y轴时，b粒子到达的位置坐标；
（2）a、b粒子是否会再次相遇？如能，请通过推导求出何时相遇；如不能，请简要说明理由；
（3）设两粒子在y轴上投影的距离为△y，则△y何时有最大值并求出△y的最大值．

Answer 1

分析 （1）离子做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式得到轨道半径和周期的表达式进行分析；
（2）结合第一问的解答可知，b粒子的周期是a粒子的周期的2倍，故两个离子一定会再次相遇，结合几何关系分析，注意周期性；
（3）两粒子均做匀速圆周运动，由于b粒子的周期是a粒子的周期的2倍，故b粒子到达最低点时，a粒子到达最高点，故两粒子在y轴上投影的距离△y最大．

解答 解：（1）由$qvB=m\frac{v^2}{r}$可知：
a粒子半径${r_1}=\frac{mv}{qB}$，
周期：${T_1}=\frac{2πm}{qB}$，
b粒子半径${r_2}=\frac{2mv}{qB}=2{r_1}$，
周期：${T_2}=\frac{2π•2m}{qB}=2{T_1}$，
a粒子第1次刚到达y轴历时：$△t=\frac{T_1}{2}=\frac{T_2}{4}$
故此时b粒子运动$\frac{1}{4}$周，位置坐标为（-$\frac{2mv}{qB}$，$\frac{2mv}{qB}$）；
（2）由图可知：ab可能在O、P点再次相遇；
由于T₂=2T₁，
故a、b粒子经过t=T₂=$\frac{4πm}{qB}$在O点再次相遇，该过程粒子不可能在P点相遇，
所以a、b粒子在t=$\frac{4kπm}{qB}$（k=1、2、3…）时刻相遇；

（3）由第（1）问分析可知，当a粒子第二次到达其圆轨迹最高点时（即a粒子运动了$\frac{3}{2}{T}_{1}$），b粒子恰好在其圆轨迹的最低点，此时两粒子在y轴上投影的距离△y最大．
考虑圆周运动的周期性，此后a粒子每运动两周，b粒子运动一周，两粒子在y轴上投影的距离△y再次最大．
所以$t=\frac{3}{2}{T_1}+n•2{T_1}=\frac{（4n+3）πm}{qB}$时△y最大，故：
$△{y_{max}}=4{r_1}=\frac{2mv}{qB}$；
答：（1）当a粒子第1次刚到达y轴时，b粒子到达的位置坐标为（-$\frac{2mv}{qB}$，$\frac{2mv}{qB}$）；
（2）a、b粒子在t=$\frac{4kπm}{qB}$（k=1、2、3…）时刻会再次相遇；
（3）设两粒子在y轴上投影的距离为△y，则在$t=\frac{（4n+3）πm}{qB}$时有最大值，△y的最大值为$\frac{2mv}{qB}$．

点评 本题关键是明确两个粒子均做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得到轨道半径关系和周期关系，然后结合几何关系分析，不难．