Question

18．如图所示，边界OA与0C之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S，0、S间的距离为a．某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场．已知∠AOC=60°粒子在该磁场中做圆周运动的周期为T，粒子在磁场中运动的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，则从边界0C射出的粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）

• A． $\frac{T}{3}$
• B． $\frac{T}{5}$
• C． $\frac{T}{7}$
• D． $\frac{T}{9}$

Answer 1

分析 本题已知带电粒子在磁场中做完整的匀速圆周运动的周期和半径，求它在特殊磁场中--三角形磁场中向各个方向发射粒子时的时间．时间问题当属偏转角越大，时间就越长，所以考虑最大偏转角和最小偏转角的情况即可．先用左手定则判断粒子做圆周运动的方向--顺时针方向做圆周运动，则沿SA方向入射时偏转角最大；而偏转角最小的情况弦长最小时，偏转角最小，而最小的弦长是从S到OC的垂线段的长，由几何关系找到此种情况偏转角，也就求出了最短时间．

解答 解：如图，过S点作OA的垂线交OC于P，由几何关系知SP=OS×tan60°=$\sqrt{3}a$=2r，所以当粒子沿SA方向入射时其运动轨迹恰为半圆从P点射出磁场区域，且时间最长，${t}_{max}=\frac{1}{2}T$．要使运动的时间最短，根据$t=\frac{θ}{2π}T$，要求轨迹圆心角最小，轨迹的弦最短，即S到OC边的距离最短，当SQ垂直于OC时最短，所以粒子从Q点离开磁场时间最短，如图所示．由几何关系：∠AOC=60°，所以∠QPS=30°，所以$SQ=\frac{1}{2}SP$，故轨迹圆心角θ=60°，所以运动时间$t=\frac{θ}{2π}T=\frac{1}{6}T$，即${t}_{min}=\frac{1}{6}T$．综上所述，粒子在该磁场区域内的时间范围为$\frac{T}{6}--\frac{T}{2}$，所以选项AB正确，CD错误．
故选：AB

点评 本题的难点在于求最短的时间，当然最短时间对应着最短的弧长和弦长，从S到磁场边界OC的最小的距离当属垂线段的长，即图中SQ．而由几何关系知SQ=$\frac{1}{2}SP$=r，所以偏转角等于60°，最短时间为$\frac{1}{6}T$；至于最长时间当属沿SA方向射出的粒子所偏转的角度所用的时间．