Question

7．如图1所示，水平面内的直角坐标系的第一象限有磁场分布，方向垂直于水平面向下，磁感应强度沿y轴方向没有变化，与横坐标x的关系如图2所示，图线是双曲线（坐标是渐近线）；顶角θ=53°的光滑金属长导轨MON固定在水平面内，ON与x轴重合，一根与ON垂直的长导体棒在水平向右的外力作用下沿导轨MON向右滑动，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触，已知t=0时，导体棒位于顶角O处；导体棒的质量为m=4kg；OM、ON接触处O点的接触电阻为R=0.5Ω，其余电阻不计，回路电动势E与时间t的关系如图3所示，图线是过原点的直线，求：

（1）t=2s时流过导体棒的电流强度的大小；
（2）在1～2s时间内导体棒所受安培力的冲量大小；
（3）导体棒滑动过程中水平外力F（单位：N）与横坐标x（单位：m）的关系式．

Answer 1

分析 （1）由E-t图象读出t=2s时的感应电动势，由欧姆定律求解流过导体棒的电流强度I₂的大小．
（2）求解安培力与时间的关系，得到平静安培力大小，再根据冲量的计算公式求解．
（3）由E=BLv分析金属棒的运动情况，由运动学公式得到加速度，运用牛顿第二定律求解F的表达式．

解答 解：（1）根据E-t图象中的图线是过原点的直线特点，可得到t=2s时金属棒产生的感应电动势为：E=4V
由欧姆定律得：I₂=$\frac{E}{R}$=$\frac{4}{0.5}$A=8A
（2）由图2可知，Bx=1Tm
由图3可知，E与时间成正比，有E=2t（V）
根据欧姆定律可得：I=$\frac{E}{R}=4t$
因θ=53°，可知任意t时刻回路中导体棒有效切割长度L=$\frac{4}{3}x$
又由F_安=BIL，所以F_安=$\frac{16}{3}t$，即安培力跟时间成正比
所以在1～2s时间内导体棒所受安培力的平均值$\overline{F}=\frac{\frac{16}{3}+\frac{32}{3}}{2}N=8N$
故安培力的冲量大小：I_安=$\overline{F}△t=8N•s$；
（3）因为E=BLv=4Bx$•\frac{v}{3}$=2t，
所以v=1.5t （m/s）
可知导体棒的运动时匀加速直线运动，加速度a=1.5m/s²，
根据位移时间关系可得：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
联立解得F=（6+$\frac{32}{9}\sqrt{3x}$） N．
答：（1）t=2s时流过导体棒的电流强度的大小为8A；
（2）在1～2s时间内导体棒所受安培力的冲量大小为8N•s；
（3）导体棒滑动过程中水平外力F=（6+$\frac{32}{9}\sqrt{3x}$） N．

点评 本题的关键首先要正确理解两个图象的数学意义，运用数学知识写出安培力与时间的关系，要掌握牛顿运动定律、闭合电路殴姆定律，安培力公式、感应电动势公式．