Question

10．已知某星球的半径为R，在该星球的表面航天员以初速度v₀水平抛出的小球经过时间t落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，不计一切阻力，忽略星球的自转，引力常量为G，求：
（1）该星球的质量．
（2）该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）将小球的速度进行分解，根据平行四边形定则求出竖直分速度，结合速度时间公式求出星球表面的重力加速度，根据万有引力等于重力求出星球的质量．
（2）根据星球表面的重力加速度，结合重力提供向心力求出星球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）小球速度方向与斜面垂直，根据平行四边形定则知，tanθ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$，则竖直分速度${v}_{y}=\frac{{v}_{0}}{tanθ}$，
根据v_y=gt得，
星球表面的重力加速度g=$\frac{{v}_{0}}{ttanθ}$．
根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，星球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{{v}_{0}{R}^{2}}{Gttanθ}$．
（2）根据mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得，该星球的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{{v}_{0}R}{ttanθ}}$．
答：（1）星球的质量为$\frac{{v}_{0}{R}^{2}}{Gttanθ}$；
（2）星球的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{{v}_{0}R}{ttanθ}}$．

点评 本题考查了万有引力定律和平抛运动的综合，通过平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度是解决本题的关键，掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．