Question

20．如图所示，一光滑水平桌面AB与一半径为R的光滑半圆形轨道相切于C点，且两者固定不动．一长L为0.8m的细绳，一端固定于O点，另一端系一个质量m₁为0.2kg的小球．当小球在竖直方向静止时，球对水平桌面的作用力刚好为零．现将球提起使细绳处于水平位置时无初速释放．当小球m₁摆至最低点时，细绳恰好被拉断，此时小球m₁恰好与放在桌面上的质量m₂为0.8kg的小球正碰，碰后m₁以2m/s的速度弹回，m₂将沿半圆形轨道运动．两小球均可视为质点，取g=10m/s²．求：
（1）细绳所能承受的最大拉力为多大？
（2）m₂在半圆形轨道最低点C点的速度为多大？
（3）为了保证m₂在半圆形轨道中运动时不脱离轨道，试讨论半圆形轨道的半径R应该满足的条件．

Answer 1

分析 （1）应用机械能守恒定律求出小球的速度，应用牛顿第二定律可以求出绳子的拉力．
（2）两球碰撞过程系统动量守恒，应用动量守恒定律可以求出小球的速度．
（3）应用牛顿第二定律与机械能守恒定律求出轨道半径，然后确定半径范围．

解答 解：（1）设小球m₁摆至最低点时速度为v₀，
由机械能守恒定律，得：m₁gL=$\frac{1}{2}$m₁v₀²，解得：v₀=4m/s，
小球m₁在最低点时，由牛顿第二定律，得：
F_T-m₁g=m₁$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$，解得：F_T=6N；
（2）m₁与m₂碰撞，动量守恒，选向右的方向为正方向，
由动量守恒定律得：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂，解得：v₂=1.5 m/s；                                      
（3）①若小球m₂恰好通过最高点D点，
由牛顿第二定律得：m₂g=m₂$\frac{{v}_{D}^{2}}{{R}_{1}}$，
m₂在CD轨道上运动时，由机械能守恒定律，得：
$\frac{1}{2}$m₂v₂²=m₂g•2R₁+$\frac{1}{2}$m₂v_D²，解得：R₁=0.045 m．
②若小球恰好到达圆轨道与圆心等高处速度减为0，则有：
$\frac{1}{2}$m₂v₂²=m₂gR₂，解得：R₂=0.1125m，
综上：R应该满足R≤0.045 m或R≥0.1125m                     
答：（1）细绳所能承受的最大拉力为6N；
（2）m₂在半圆形轨道最低点C点的速度为1.5m/s；
（3）为了保证m₂在半圆形轨道中运动时不脱离轨道，半圆形轨道的半径R应该满足的条件是：R≤0.045 m或R≥0.1125m．

点评 本题主要考查了动量守恒、机械能守恒定律、向心力公式的应用，要知道小球恰好通过最高点时，由重力提供向心力；分析清楚小球的运动过程是解题的前提与关键．