Question

17．一宇宙飞船沿半径为2R（R为地球的半径）的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转同向，已知地球自转角速度为ω和地球表面的重力加速度g．
（1）求出宇宙飞船的运行周期T；
（2）若某时刻，赤道上有一天文爱好者正好看到飞船在其正上方，问从此刻起天文爱好者能连续多长时间看到飞船．

Answer 1

分析 （1）宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，根据牛顿运动定律求解宇宙飞船的运行周期．
（2）宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，人随地球自转做匀速圆周运动，当宇宙飞船转过的角度与人转过的角度之差在$\frac{π}{2}$内时，天文爱好者可以连续观察到飞船．

解答 解：（1）宇宙飞船绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿运动定律得：
G$\frac{Mm}{（2R）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$•2R，
在地球表面的物体：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，
解得：T=4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$；
（2）以地面为参照物，宇宙飞船再次出现在天文爱好者上方时，当宇宙飞船转过的角度与人转过的角度之差在$\frac{π}{2}$内时，天文爱好者可以连续观察到飞船，即：
ω₁△t-ω△t=$\frac{π}{2}$，
解得：△t=$\frac{π}{\sqrt{\frac{g}{2R}}-2ω}$
答：（1）出宇宙飞船的运行周期T为4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$；
（2）从此刻起天文爱好者能连续看到飞船的时间是：$\frac{π}{\sqrt{\frac{g}{2R}}-2ω}$．

点评 本题考查了求飞船的周期、天文爱好者观察到飞船的时间，考查了万有引力定律的应用，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题，解题时注意“黄金代换”的应用．