题目内容

18．如图所示，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R．一个质量为m的物体（可以看作质点）从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ．求：
（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程s；
（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力的大小；
（3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D（E、O、D为同一条竖直直径上的3个点），释放点距B点的距离L应满足什么条件．

分析 ①对整个过程做好受力分析，利用动能定理求摩擦力做的功；
②对BE过程由动能定理可求得C点的速度，再对圆周运动条件的分析和应用；由向心力公式求解支持力；再由牛顿第三定律求解压力；
③根据圆周运动中能过最高点的条件明确物体的速度，再对全程由动能定理定式求解即可．

解答 解：（1）因为摩擦始终对物体做负功，所以物体最终在圆心角为2θ的圆弧上往复运动．
对整体过程由动能定理得
mgR•cosθ-μmgcosθ•x=0
所以总路程为x=$\frac{R}{μ}$．
（2）对B→E过程，由动能定理得
mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mvE2-------------------①
FN-mg=m$\frac{{V}_{E}^{2}}{R}$------------------②
由①②得对轨道压力：FN=（3-2cosθ）mg．
（3）设物体刚好到D点，则由向心力公式得
mg=m$\frac{{V}_{D}^{2}}{R}$------------------③
对全过程由动能定理得
mgL′sinθ-μmgcosθ•L′-mgR（1+cosθ）=$\frac{1}{2}$mvD2-----------------------④
由③④得最少距离L′=$\frac{3+2cosθ}{2sinθ-2μcosθ}$•R．
答：（1）在AB轨道上通过的总路程为x=$\frac{R}{μ}$．
（2）对圆弧轨道的压力为（3-2cosθ）mg
（3）释放点距B点的距离L′至少为$\frac{3+2cosθ}{2sinθ-2μcosθ}$•R．

点评 本题综合应用了动能定理求摩擦力做的功、圆周运动及圆周运动中能过最高点的条件，对动能定理、圆周运动部分的内容考查的较全，是圆周运动部分的一个好题．

练习册系列答案
相关题目
8．某实验小组用如图1所示装置做“验证机械能守恒定律”实验．
（1）实验中除了打点计时器，还必须用到的测量工具为刻度尺．
（2）在实验操作和数据处理过程巾，下列做法必须有的是D．
A．用天平测出重物的质量
B．为减小长度测量的误差，处理纸带时每五个点取一个计数点
C．必须选择打的第1个点与第2个点的间隔约为2mm
D．必须先接通电再释放纸带
（3）图2为实验中得到的一条纸带，O为打的第一个点，A、B、C、D、E为纸带十打点计时器打下的五个连续的点，测汁这五点到O点的距离分别为xA、xB、xC、xD、xE．  丁点计时器所接交流电的频率为f，当地的重力加速度为g，现用OC段验证机械能守恒定律，要验证的表达式为$g{x}_{c}=\frac{（{x}_{D}-{x}_{E}）^{2}{f}^{2}}{8}$，若实验中算得动能的增加量大于重力势能的减少量，可能原因是先释放纸带后接通电．
（4）根据打出的纸带算出离打第一个点较远处连续几个点时的速度，以$\frac{v^2}{2}$为纵轴，以x为横轴绘$\frac{v^2}{2}$-x图线，如果图线是过原点的斜的直线，且图线的斜率等于g，则机械能守恒得到验证；如果根据打点间隔算出打每个点重物运动的时间t，根据测得的x和算得的t，作出$\frac{x}{t}-t$图象，如果图线是过原点的斜的直线，且图线的斜率等于$\frac{g}{2}$，则机械能守恒定律得到验证．
9．如图所示，小车上有一根固定的水平横杆，横杆左端固定的轻杆与竖直方向成θ角，轻杆下端连接一小铁球；横杆右端用一根细线悬挂一小铁球，当小车做匀变速直线运动时，细线保持与竖直方向成α角，若θ＜α，则下列说法中正确的是（　　）
A．轻杆对小球的弹力方向沿着轻杆方向向上
B．轻杆对小球的弹力方向与细线平行向上
C．小车可能以加速度gtanα向右做匀加速运动
D．小车一定以加速度gtanθ向右做匀加速运动
6．在国际单位制中，电容的单位是法拉，常用的还有微法和皮法，它们的关系是：
1μF=10-6F                
1pF=10-12F．
13．如图所示，绝缘光滑半径为R=0.8m的半圆环竖直固定放置，位于场强E1=4V/m、方向竖直向上的匀强电场中，半圆环的下端与地面相切于最低点B，半圆环的右边存在水平向右的场强为E2=0.2V/m的匀强电场，现有质量m=1kg，带电荷量q=+5C的小物块（可视为质点），位于半圆环最高点A，小物块与地面的动摩擦因数μ=0.2．现给小物块水平向左的初速度vA=4$\sqrt{3}$m/s（g取10m/s2）．求：
（1）小物体到达B点的速度大小；
（2）小物体到达B点时对半圆环的压力大小；
（3）小物体在地面上滑行到最后处所用的时间．
3．如图所示电路中．A、B两灯均正常发光，R为一滑动变阻器，P为滑动片，若将滑动片向下滑动，则（　　）
A．A灯变亮B．B灯变亮
C．R1上消耗功率变大D．总电流变小
10．火警报警系统原理如图，M是一个小型理想变压器，原副线圈匝数之比n1：n2=10：1，接线柱a、b接一电动势变化规律为e=220$\sqrt{2}$sin100πt（V）的交变电源．在变压器右侧部分，R2为用半导体热敏材料（电阻随温度升高而减小）制成的传感器，R1为一定值电阻．下列说法中正确的是（　　）
A．此交变电源的频率为100 Hz
B．电压表V1的示数为22$\sqrt{2}$ V
C．当传感器R2所在处出现火警时，电流表A的示数增大
D．当传感器R2所在处出现火警时，电压表V1和V2的示数都减小
7．如图所示，有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸展的细绳相连，并在某一位置平衡（如图），现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力N、摩擦力f和细绳上的拉力T的变化情况是（　　）
A．N不变，T变大，f不变B．N不变，T变小，f变小
C．N变小，T变大，f不变D．N变大，T变小，f变小
8．某同学在实验室想测量一只灵敏电流计G表内的电阻rg，及电源的电动势E和内阻r，要求：测量尽量准确，能测多组数据且滑动变阻器调节方便，电表最大读数不得小于量程的$\frac{1}{3}$，待测元件及提供的其他实验材料有：
A．待测G表：量程500μA，内阻在150-2500Ω之间
B．待测电源E：电动势约3.0V，内阻未知
C．电流表A：量程2A，内阻约0.1Ω
D．电压表V：量程300mV，内阻约500Ω
E．定值电阻R0：R0=300
F．滑动变阻器R1；最大阻值100Ω，额定电流2A
H．电阻箱R2：0-9999Ω
J．开关S一个，导线若干
（1）该同学先利用伏安法测量G表内阻0．
①图甲是该同学设计的实验电路图，则虚线框中应该选用的元件是E；（填元件前面的序号字母）
②该同学读出c表的示数为，电压表y的示数为u，请写出待测G表的内阻的计算表达式R=$\frac{U}{I}$-R0；．
（2）该同学测出rv=200Ω后，然后把G表和电阻箱R2串联，将它改装成一只量程为3V的电压表，则电阻箱Rx应调到2800Ω．
（3）该同学利用电流表A和改装后的电压表，将各元件连接成图乙所示的测量电路，接着测量电源的电动势E
及内阻n若利用测量的数据，作出的G表示数k与通过滑动变阻器蜀的电流，的关系图象如图丙所示，则可得
到电源的电动势E=1.5V．内阻r=0.6n（计算结果均保留两位有效数字）

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