Question

1．如图光滑竖直半圆弧与粗糙水平面平滑连接，轻弹簧一端与墙壁连接，另一端与可视为质点的、质量为m的小滑块接触但不连接，小滑块在水平外力作用下静止于P点．某时刻撤去外力，小滑向左运动，小滑块到达A点之前已与弹簧分离，此后恰好能到达与圆心等高的B点．已知圆弧半径为R，小滑块质量为m，和水平面间的摩擦因数为μ=0.5，圆弧最低点A与点P间距为L=4R．求
（1）滑块由P运动至A的过程中弹簧对小球做的功；
（2）若将质量为m'的小滑块（材质及粗糙程度同上述滑块）缓慢压至P点后由静止释放，为使滑块能通过圆弧最高点C，求m'的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对滑块由P到B运动过程应用动能定理即可求解；
（2）由牛顿第二定律求得在C处的速度范围，然后由动能定理即可求解．

解答 解：（1）滑块由P到B的运动过程，弹簧弹力、摩擦力、重力做功，故由动能定理可得：E_p-μmgL-mgR=0；
所以，滑块由P运动至A的过程中弹簧对小球做的功为：E_p=mgR+μmgL=3mgR；
（2）新滑块能通过圆弧最高点C，对滑块在C点应用牛顿第二定律可得：$m′g≤\frac{m′{{v}_{C}}^{2}}{R}$
新滑块从P至C的过程中，弹簧弹力、摩擦力、重力做功，故由动能定理可得：${E}_{p}-μm′gL-2m′gR=\frac{1}{2}m′{{v}_{C}}^{2}≥\frac{1}{2}m′gR$；
所以，$3mgR≥\frac{9}{2}m′gR$
所以，$m′≤\frac{2}{3}m$；
答：（1）滑块由P运动至A的过程中弹簧对小球做的功为3mgR；
（2）若将质量为m'的小滑块（材质及粗糙程度同上述滑块）缓慢压至P点后由静止释放，为使滑块能通过圆弧最高点C，则$m′≤\frac{2}{3}m$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．