Question

9．在一个动物表演的娱乐节目中，小猫从平台上B点水平跳出，抓住竖直固定的车轮的边缘P点，运动到最低点C时松手，使可落到浮于水面的小橡皮船D上，如图所示，已知车轮半径R=$\frac{4}{3}$m，B与车轮转轴O等高，OP与水平方向成θ=37°角，小猫抓住P点时速度方向恰好垂直于OP，小猫可看作质点，重力加速度取g=10m/s²，求：
（1）小猫从B跳出时的速度v₀及BO间水平距离x₁；
（2）若小猫质量为m=1kg，h=（$\frac{4}{3}$+0.45）m，小猫与车轮作用时小猫损失的机械能为5.3J，系统损失的机械能为2.3J，求x₂及车轮获得的机械能．

Answer 1

分析 （1）小猫从B跳出后做平抛运动，根据下落的高度，求出落到P点时的竖直分速度，结合此时速度方向与OP垂直，求出从B跳出时的速度v₀．由竖直分速度求出平抛运动的时间，从而平抛运动的水平距离，由几何关系求出BO间水平距离x₁．
（2）根据能量守恒定律求出车轮获得的机械能．小猫离开C点后做平抛运动，由平抛运动的规律求x₂．

解答 解：（1）小猫从B跳出后做平抛运动，B与车轮转轴O等高，由几何关系得小猫下落的竖直位移
  y=Rsin37°=0.80m
小猫做平抛运动，因此
 x=v₀t
 y=$\frac{1}{2}$gt²；
由小猫到达P点时速度方向可知
 cotθ=$\frac{gt}{{v}_{0}}$=2×$\frac{y}{x}$
联立代入数据解得：
v₀=3m/s，x=1.2m
BO间的水平距离为：
x₁=x+Rcos37°
得：x₁=2.27m
（2）从P到C，对小猫，由能量守恒得：
△E=$\frac{1}{2}$mv_P²+mgR（1-sinθ）-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
又 v_P=$\frac{{v}_{0}}{sinθ}$
设车轮获得的机械能为E_k，对系统，有△E′=△E-E_k；
从C到D，小猫做平抛运动，则有：
x₂=v_Ct′
h-R=$\frac{1}{2}$gt′²；
联立以上各式代入数据解得：
x₂=1.5m，E_k=3J
答：（1）小猫从B跳出时的速度v₀是3m/s，BO间水平距离x₁是2.27m．
（2）x₂是1.5m，车轮获得的机械能是3J．

点评 本题是以实际背景命题，实际考查平抛运动和能量守恒定律的应用，平抛运动要掌握运动的分解方法以及分位移、分速度公式．本题关键要正确分析能量是如何转化的．