Question

8．如图（a）所示，轻质轮轴的轮半径为2r，轴半径为r，它可以绕垂直于纸面的光滑水平轴O转动，图（b）为轮轴的侧视图．轮上绕有细线，线下端系一质量为M的重物，轴上也绕有细线，线下端系一质量为m的金属杆．平行金属导轨PQ、MN足够长，其中倾角为α、间距为L，在QN之间连接有阻值为R的电阻，其余电阻不计．磁感强度为B的匀强磁场与导轨平面垂直．开始时金属杆置于导轨下端，将重物由静止释放，重物最终能匀速下降，运动过程中金属杆始终与导轨接触良好．

（1）当重物M匀速下降时，细绳对金属杆的拉力T多大？
（2）重物M匀速下降的速度v多大？
（3）对一定的B，取不同的M，测出相应的M作匀速运动时的v值，得到实验图线如图（c），图中画出了磁感强度分别为B₁和B₂时的两条实验图线．试根据实验结果计算比值$\frac{B_1}{B_2}$．

Answer 1

分析 （1）重物匀速下降时，金属杆匀速上升，合力都是为零．由滑轮与力的关系得：Mg•2r=T•r对重物也进行受力分析，即可得出细绳对金属杆的拉力；
（2）首先根据轮轴原理，得出M与金属杆的速度关系．重物最终匀速下降，金属杆匀速上升，对金属杆进行受力分析得出金属杆的受力关系，即可求解重物M匀速下降的速度；
（3）根据第1题v的表达式，分析v-M图象的斜率，结合图象求出斜率，即可得到B₁和B₂的比值．

解答 解：（1）金属棒达到匀速运动时，重物也匀速运动，对于重物，有 T=Mg
又有滑轮与力的关系得：Mg•2r=T•r
T=2Mg   …①
（2）金属棒达到匀速运动时，由平衡条件得：
  对于金属杆，有T=F₁+mgsinα  …②
杆所受的安培力：F₁=BIL…③
回路中的感应电流为 I=$\frac{E}{R}$…④
杆产生的感应电动势为：E=BLv_m
由③④⑤得：T=mgsinα+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$…⑤
通过滑轮的绳子两端，M与m之间的速度关系：v_M=2v_m…⑥
由①②⑥可求速度：v_m=$\frac{（2Mg-mgsinα）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$，v_M=$\frac{2（2Mg-mgsinα）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$…⑦
（3）由⑦式得出v-M的函数关系式：v_M=$\frac{4gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$M-$\frac{2mgRsinα}{{B}^{2}{L}^{2}}$=kM+b，其中k=$\frac{4gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$，b=-$\frac{2mgRsinα}{{B}^{2}{L}^{2}}$
从图象上获取数据，得到直线B₁的斜率：k=$\frac{4gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$∝$\frac{1}{{B}^{2}}$
可见B∝$\frac{1}{\sqrt{k}}$
由图线可得k₁=$\frac{16}{10}$=$\frac{8}{5}$，k₂=$\frac{9}{10}$
故有：$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}$=$\frac{9}{16}$
所以得：$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}}$=$\frac{3}{4}$
答：
（1）当重物M匀速下降时，细绳对金属杆m的拉力T是2Mg；
（2）重物M匀速下降的速度为$\frac{2（2Mg-mgsinα）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）图中画出了磁感应强度分别为B₁和B₂时的两条实验图线，根据实验结果计算比值$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$等于$\frac{3}{4}$．

点评 本题中运用F=BIL、I=$\frac{E}{R}$、E=BLv推导安培力的表达式是求解的关键步骤，再运用数学知识分析图象的信息，得到B₁和B₂的比值．