Question

11．在学校组织的趣味运动会上，某科技小组为大家提供了一个寓学于乐的游戏．如图所示，将一质量为0.1kg的小滑块（可视为质点）放在O点，用弹簧装置将其弹出，使其沿着光滑的半圆形轨道OA和AB运动，BC段为一段长为L=2.0m的粗糖水平面，DEFG为矩形盘子（盒子边缘的高度忽略不计）．圆弧OA和AB的半径分别为r=0.2m，R=0.4m，滑块与BC段的动摩擦因数为μ=0.4，C点离盒子的高度为h=0.8m，水平距离为x=0.6m，盒子的长度EF为1m，求：

（1）要使小滑块恰好不脱离圆弧轨道，在B位置小滑块受到半圆轨道的支持力；
（2）在满足第（1）问的情况下，小滑块能否落入盒子？若能，则落入盒子时距左边缘DE的距离；
（3）为了不让小滑块飞出盒子，滑块被弹射离开弹簧时的最大初速度．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，抓住小滑块恰好不脱离圆弧轨道求出A点的速度，结合机械能守恒求出B点的速度，根据牛顿第二定律求出支持力的大小．
（2）根据动能定理求出C点的速度，结合平抛运动的规律求出水平位移，判断小滑块能否落入盒子，若能，结合水平位移关系求出落入盒子时距左边缘DE的距离．
（3）根据平抛运动的规律求出C点的最大速度，结合动能定理求出滑块被弹射离开弹簧时的最大初速度．

解答 解：（1）滑块恰好到达A点，可知轨道对滑块的压力为零，滑块仅受重力，对滑块有：$mg=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，
A到B的过程机械能守恒：$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
对B点：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
由以上三式代入数据可得：F_N=6N．
（2）从B至C由动能定理：$-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入数据得v_C=2m/s．
由平抛运动：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，s=v_Ct，
联立以上各式解得：s=0.8m＞0.6m．
所以小滑块能落入盒子中．
落入的位置距离E点：△x=s-x=0.8-0.6m=0.2m．
（3）由平抛运动：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x+x_EF=v_C′t，
代入数据解得v_C′=4m/s．
由O至C用动能定理：$mgR-μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{c}{′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入数据解得：${v}_{0}=2\sqrt{6}$m/s．
答：（1）要使小滑块恰好不脱离圆弧轨道，在B位置小滑块受到半圆轨道的支持力为6N；
（2）在满足第（1）问的情况下，小滑块能落入盒子中，落入盒子时距左边缘DE的距离为0.2m．
（3）为了不让小滑块飞出盒子，滑块被弹射离开弹簧时的最大初速度为$2\sqrt{6}$m/s．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律和平抛运动、圆周运动的综合运用，知道圆周运动向心力的来源以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．