Question

10．如图所示的“s”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，放置在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆对接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，轨道在水平方向不可移动．弹射装置将一个小球（小球的直径略小于细圆管内径）从a点沿水平地面向b点运动并进入轨道，经过轨道后从最高点d水平抛出．已知小球与地面ab段间的动摩擦因数为μ，ab段长L，圆的半径R，小球质量m，求：
（1）若小球经d处时，对轨道上臂有压力，则它经过b处时的速度满足什么条件？
（2）为使小球离开轨道d处后，不会再碰到轨道，则小球离开d出时的速度至少为多大？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律与机械能守恒定律，即可求解；
（2）根据平抛运动规律处理的方法，运用牛顿第二定律与运动学公式综合，借助于几何关系，即可求解；根据动能定理，与牛顿第二定律，结合向心力表达式，即可求解．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律，小球经d点时
F_d+mg=m$\frac{{v}_{d}^{2}}{R}$
F_d＞0
即v_d$＞\sqrt{gR}$
小球从b到d，由机械能守恒定律
$\frac{1}{2}$mv_d²+4mgR=$\frac{1}{2}$mv_b²
解得v_b$＞3\sqrt{gR}$
（2）假设恰好落到竖直位移3R处，则该点的速度方向竖直向下，这不符合平抛运动的规律．设小球离开d出时的速度为v_d时，在运动过程中与轨道恰好相碰，即小球的运动轨迹与圆相切．以d点为坐标原点建立如图坐标系，由平抛运动规律得
x=v_at               
y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$                        ②
由①②两式得y=$\frac{g}{2{v}_{d}^{2}}{x}^{2}$          ③
由解析几何知识得x²+（y-3R）²=R² ④
联立③④两式得y²+（$\frac{2{v}_{d}^{2}}{g}$-6R）y+8R²=0    ⑤
要使的抛物线与圆相切，则方程⑤的△判别式为零，即
△=（$\frac{2{v}_{d}^{2}}{g}$-6R）²-32R²=0
解得：v_d=$\sqrt{（3-2\sqrt{2}）gR}$
故小球离开轨道d处后，不再碰到轨道，小球离开d出时的速度至少为$\sqrt{（3-2\sqrt{2}）gR}$
答：（1）若小球经d处时，对轨道上臂有压力，则它经过b处时的速度满足v_b$＞3\sqrt{gR}$
（2）为使小球离开轨道d处后，不会再碰到轨道，则小球离开d出时的速度至少为$\sqrt{（3-2\sqrt{2}）gR}$

点评 本题考查动能定理、机械能守恒定律、牛顿第二定律与运动学公式等规律的应用，知道向心力的表达式，同时注意受力分析的研究对象确定，本题同时还要注意数学规律的基本应用．