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如图所示，ABCDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的
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圆周轨道，CDO是直径为15m的半圆轨道．AB和CDO通过极短的水平轨道（长度忽略不计）平滑连接．半径OA处于水平位置，直径OC处于竖直位置．一个小球P从A点的正上方高H处自由落下，从A点进入竖直平面内的轨道运动（小球经过A点时无机械能损失）．当小球通过CDO轨道最低点C时对轨道的压力等于其重力的
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倍，（取g为10m/s2）．
（1）试求高度H的大小？
（2）试讨论此球能否到达CDO轨道的最高点O，并说明理由？
（3）求小球沿轨道运动后经多长时间再次落回轨道上？
分析：（1）设小球通过D点的速度为v，根据向心力公式列出方程，小球从P点落下直到沿光滑轨道运动的过程中，机械能守恒，可解得H的高度；
（2）先求出0点的最小速度，然后根据机械能守恒定律得到要到达0点需要从多高的地方下落，把这个高度和H进行比较即可解题；
（3）先求出小球由H落下通过O点的速度，小球通过O点后作平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，根据几何关系即可求解．
解答：解：（1）设小球通过D点的速度为v，则有：
m
v2
R
2
=F=
14
3
mg
小球从P点落下直到沿光滑轨道运动的过程中，机械能守恒，有mg（H+
R
2
）=
1
2
mv2
可得高度H=
2
3
R=10m
（2）设小球能够沿竖直半圆轨道运动到O点的最小速度为vc，有m
vC2
R
2
=mg
小球至少应从Hc高处落下，mgHC=
1
2
mvC2
解得HC=
R
4
   由H＞HC，小球可以通过O点．
（3）小球由H落下通过O点的速度为v0=
2gH
=14.1m/s
小球通过O点后作平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，有
x=v0t
y=
1
2
gt2      
且x2+y2=R2
可解得时间t=1s  （另解舍弃）  
答：（1）高度H的大小为10m；
（2）能到达CDO轨道的最高点O；
（3）小球沿轨道运动后经1s再次落回轨道上．
点评：整个过程中物体的机械能守恒，离开O点小球做平抛运动，直到落到轨道上，知道物体的运动过程，根据物体的不同的运动状态，采用相应的物理规律求解即可．
练习册系列答案
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圆周轨道，CDO是直径为15m的半圆轨道．AB轨道和CDO轨道通过极短的水平轨道（长度忽略不计）平滑连接．半径OA处于水平位置，直径OC处于竖直位置．一个小球P从A点的正上方高H处自由落下，从A点进入竖直平面内的轨道运动（小球经过A点时无机械能损失）．当小球通过CDO轨道最低点C时对轨道的压力等于其重力的
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倍，取g为10m/s2．求：
（1）高度H的大小；
（2）小球沿轨道运动后再次落回轨道上时的速度大小．
如图所示，ABCDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的
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圆周轨道，CDO是直径为15m的半圆轨道．AB轨道和CDO轨道通过极短的水平轨道（长度忽略不计）平滑连接．半径OA处于水平位置，直径OC处于竖直位置．一个小球P从A点的正上方高H处自由落下，从A点进入竖直平面内的轨道运动（小球经过A点时无机械能损失）．当小球通过CDO轨道最低点C时对轨道的压力等于其重力的
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倍，取g为10m/s2．
（1）试求高度H的大小；
（2）试讨论此球能否到达CDO轨道的最高点O，并说明理由；
（3）求小球沿轨道运动后再次落回轨道上时的速度大小．
精英家教网如图所示，ABCDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的
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圆周轨道，半径OA处于水平位置，CDO是直径为15m的半圆轨道，两个轨道如图连接固定．一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道运动．通过CDO轨道的最低点C时对轨道的压力力等于其重力的
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倍．取g为10m/s2．
（1）H的大小；
（2）小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是多少．
精英家教网如图所示，ABCDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的
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圆周轨道，CDO是直径为15m的半圆轨道．AB轨道和CDO轨道通过极短的水平轨道（长度忽略不计）平滑连接．半径OA处于水平位置，直径OC处于竖直位置．一个质量为m=0.3kg的小球P从A点的正上方高H处自由落下，从A点进入竖直平面内的轨道运动（小球经过A点时无机械能损失）．当小球通过CDO轨道最低点C时对轨道的压力等于23N，取g为10m/s2．
（1）试求高度H的大小？
（2）小球在最高点O受轨道的压力FN的大小
（3）小球离开O点后经多长时间t再次落回轨道上？

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