Question

如图所示，ABCDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的

1

4

圆周轨道，CDO是直径为15m的半圆轨道．AB轨道和CDO轨道通过极短的水平轨道（长度忽略不计）平滑连接．半径OA处于水平位置，直径OC处于竖直位置．一个小球P从A点的正上方高H处自由落下，从A点进入竖直平面内的轨道运动（小球经过A点时无机械能损失）．当小球通过CDO轨道最低点C时对轨道的压力等于其重力的

23

3

倍，取g为10m/s²．求：
（1）高度H的大小；
（2）小球沿轨道运动后再次落回轨道上时的速度大小．

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律，通过竖直方向上的合力提供向心力，求出小球在C点时的速度，根据机械能守恒定律求出高度H的大小．
（2）根据机械能守恒定律求出小球通过O点的速度，与O点的临界速度进行比较，判断能否越过O点，若能越过O点，将做平抛运动，根据平抛运动水平位移和竖直位移的关系求出平抛运动的时间，从而求出竖直方向上的分速度，根据平行四边形定则求出落回轨道上时的速度大小．

解答：解：（1）由题可知，小球在C点轨道对小球的支持力大小为

23

3

mg，
设此时小球的速度为v₁，
根据牛顿运动定律有：

23

3

mg-mg=m

v 2 1

R 2

小球从P到C过程中，
由机械能守恒有：mg(H+R)=

1

2

m

v

2 1

由以上两式解得：H=10m 
（2）设小球能到达O点，
由P到O过程中，机械能守恒，
设到O点的速度为v₂，
有：mgH=

1

2

m

v

2 2

解得：v2=

2gH

=

20g

设物体恰好到达轨道O点的速度大小为v₀，
根据牛顿运动定律，
有：mg=m

v 2 0

R 2

解得：v0=

15g 2

因为  v₂＞v₀，所以小球能够到达O点 
小球离开O点后做平抛运动，根据平抛运动规律有：
水平方向：x=v₂t 
竖直方向：y=

1

2

gt2
且有：x²+y²=R²
解得：t=1s
所以小球再次落到轨道上的速度v3=

v 2 2 +(gt)2

=10

3

m/s
答：（1）高度H的大小为10m．
（2）小球沿轨道运动后再次落回轨道上时的速度大小10

3

m/s．

点评：本题综合考查了牛顿第二定律和机械能守恒定律，考查了圆周运动和平抛运动，综合性较强，难度中等，需加强这类题型的训练．