Question

如图所示，ABCDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的

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圆周轨道，CDO是直径为15m的半圆轨道．AB轨道和CDO轨道通过极短的水平轨道（长度忽略不计）平滑连接．半径OA处于水平位置，直径OC处于竖直位置．一个质量为m=0.3kg的小球P从A点的正上方高H处自由落下，从A点进入竖直平面内的轨道运动（小球经过A点时无机械能损失）．当小球通过CDO轨道最低点C时对轨道的压力等于23N，取g为10m/s²．
（1）试求高度H的大小？
（2）小球在最高点O受轨道的压力F_N的大小
（3）小球离开O点后经多长时间t再次落回轨道上？

Answer 1

分析：（1）设小球通过C点的速度为v，根据向心力公式列出方程，小球从P点落下直到沿光滑轨道运动的过程中，机械能守恒，可解得H的高度；
（2）根据机械能守恒定律求出小球到达O点时的速度大小，再根据牛顿第二定律求解小球在最高点O受轨道的压力F_N的大小；
（3）先求出小球由H落下通过O点的速度，小球通过O点后作平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，根据几何关系即可求解．

解答：解：（1）设小球通过C点的速度为v_C．
小球从P点运动到C点的过程中，机械能守恒，有
mg（H+R）=

1

2

m

v

2 C

在C点，有N_C-mg=m

v 2 C

0.5R

又N_C=23N
可得高度H=10m
（2）设小球沿竖直半圆轨道运动到O点的速度为v_O，由机械能定律得
  mgH=

1

2

m

v

2 O

解得v_O=

2gH

=

2×10×10

=10

2

m/s．
在O点，根据牛顿第二定律得：F_N+mg=m

v 2 O

0.5R

解得，F_N=5N
（3）小球通过O点后作平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，有
  x=v₀t
  y=

1

2

gt2
且x²+y²=R²
可解得时间t=1s
答：
（1）高度H的大小为10m；
（2）小球在最高点O受轨道的压力F_N的大小为5N；
（3）小球沿轨道运动后经1s再次落回轨道上．

点评：本题关键是要分析清楚物体各段的运动规律，同时多次结合机械能守恒定律和向心力公式列式求解．