Question

如图所示，ABCDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的

1

4

圆周轨道，CDO是直径为15m的半圆轨道．AB轨道和CDO轨道通过极短的水平轨道（长度忽略不计）平滑连接．半径OA处于水平位置，直径OC处于竖直位置．一个小球P从A点的正上方高H处自由落下，从A点进入竖直平面内的轨道运动（小球经过A点时无机械能损失）．当小球通过CDO轨道最低点C时对轨道的压力等于其重力的

23

3

倍，取g为10m/s²．
（1）试求高度H的大小；
（2）试讨论此球能否到达CDO轨道的最高点O，并说明理由；
（3）求小球沿轨道运动后再次落回轨道上时的速度大小．

Answer 1

分析：（1）由于重力和支持力的合力提供向心力，根据向心力公式得到C点速度；
（2）先根据机械能守恒定律求得O点速度，再求出恰好经过O点的速度，然后比较得出结论；
（3）离开O点后做平抛运动，根据水平和竖直分位移公式和几何关系得到时间，再求出水平和竖直方向的分速度，最后得到合速度．

解答：解：（1）在C点对轨道的压力等于重力的

23

3

，由牛顿第三定律得，在C点轨道对小球的支持力大小为

23

3

mg．
设小球过C点速度v₁ 

23

3

mg-mg=m

v 2 1

1 2 R

P到C过程，由机械能守恒：mg（H+R）=

1

2

m

v

2 1

　　　　　　解得：H=10m
即高度H的大小为10m．
（2）设小球能到达O点，由P到O，机械能守恒，到O点的速度v₂：
mgH=

1

2

m

v

2 2

      解得 v2=

2gH

=

20g

设小球恰好能到达轨道的O点时的速度大小为v₀，则
mg=m

v 2 0

1 2 R

    解得 v0=

1 2 gR

=

15g 2

 
由于v₂＞v₀
故小球能够到达O点．
（3）小球在O点的速度v2=

2gH

=

4 3 gH

=10

2

m/s
　　离开O点小球做平抛运动：
水平方向：x=v₂t 竖直方向：y=

1

2

gt2 且有：x²+y²=R² 解得：t=1s
再次落到轨道上的速度v3=

v 2 2 + (gt) 2

=10

3

m/s
即小球沿轨道运动后再次落回轨道上时的速度大小为10

3

m/s．

点评：本题关键是要分析清楚物体各段的运动规律，同时多次结合机械能守恒定律和向心力公式列式求解．