题目内容

8．如图所示，两平行光滑的金属导轨与水平方向夹角为30°，匀强磁场B=0.40T，方向垂直导轨平面，导轨间距L=0.50m，金属棒ab质量为0.10kg，cd棒质量为0.20kg，垂直导轨放置，闭合回路有效电阻为0.20Ω，开始时两棒静止，当ab棒在沿斜面向上外力作用下，以1.5m/s的速度沿斜面向上匀速运动的同时，cd棒也自由释放，则（取g=10m/s2）：（1）棒cd的最大加速度为多少？
（2）棒cd的最大速度为多少？此时棒cd内产生的感应电动势多大？
（3）当棒cd运动的速度达到最大时，作用在棒ab上外力的功率多大？

分析 （1）因棒ab切割磁感线，产生感应电动势，导致棒cd出现安培力，通过与重力的下滑分力大小进行比较，并结合牛顿第二定律，从而求得棒cd的最大加速度；
（2）当棒cd的加速度为零时，速度达到最大，根据受力平衡方程，结合法拉第电磁感应与闭合电路欧姆定律，及安培力的表达式，得出安培力综合表达式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，从而即可求解；
（3）根据棒cd运动的速度达到最大，可知，棒ab受到的安培力的大小，再结合功率表达式P=Fv，即可求解．

解答 解：（1）ab棒以1.5m/s的速度沿斜面向上匀速运动，
根据法拉第电磁感应定律，则感应电动势E=BLv=0.4×0.5×1.5N=0.3V；
由闭合电路欧姆定律，则感应电流大小I=$\frac{E}{R}$=$\frac{0.3}{0.2}$A=1.5A；
此时安培力大小F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=$\frac{0．{4}^{2}×0．{5}^{2}×1.5}{0.2}$N=0.3N，
根据右手定则可知，感应电流的方向顺时针方向，
由左手定则可知，棒cd安培力的方向沿斜面向上，
而棒cd重力向下的分力为N=mcdgsin30°=0.2×10×0.5=1N；
则棒cd会从静止开始加速下滑，因此刚开始时，棒的加速度最大，
即：mcdgsin30°-F=mcda；
解得：a=$\frac{0.2×10×0.5-0.3}{0.2}$m/s2=3.5m/s2；
（2）棒cd的加速度为零时，此时速度达到最大，
则有：mcdgsin30°=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（v+{v}_{m}）}{R}$；
解得：vm=$\frac{0.2×10×0.5×0.2}{0．{4}^{2}×0．{5}^{2}}-1.5$=3.5m/s；
此时棒cd内产生的感应电动势E′=BLvm=0.4×0.5×3.5=0.7V；
（3）当棒cd运动的速度达到最大时，则棒cd受到的安培力大小为F′=mcdgsin30°=0.2×10×0.5=1N；
因此在棒ab上安培力大小也为1N，方向与重力向下的分力相同，
由于棒ab做匀速直线运动，则外力大小T=F′+mabgsin30°=1+0.5=1.5N；
那么外力的功率，P=Tv=1.5×1.5=2.25W；
答：（1）棒cd的最大加速度为3.5m/s2；
（2）棒cd的最大速度为3.5m/s，此时棒cd内产生的感应电动势0.7V；
（3）当棒cd运动的速度达到最大时，作用在棒ab上外力的功率2.25W．

点评 考查法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律的应用，掌握牛顿第二定律的内容，理解两棒切割磁感线产生感应电动势相加的原因，注意安培力综合表达式的推导．

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