Question

1．宇航员在某星球表面让一个小球从高度为h处做自由落体运动，经过时间t小球落到星球表面．已知该星球的半径为R，引力常量为G．不考虑星球自转的影响．求：
（1）该星球表面附近的重力加速度；
（2）该星球的质量；
（3）该星球的“第一宇宙速度”．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动的规律，结合位移时间公式求出星球表面的重力加速度；
（2）根据万有引力等于重力求出星球的质量；
（3）根据万有引力等于向心力求第一宇宙速度

解答 解：（1）设此星球表面的重力加速度为g，小球做自由落体运动，有：
$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
解得：$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
（2）设星球的质量为M，星球表面一物体的质量m，不考虑星球自转影响，有：
$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$M=\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
（3）卫星在星球表面附近绕星球飞行，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
星球的“第一宇宙速度”为：$v=\frac{\sqrt{2hR}}{t}$
答：（1）该星球表面附近的重力加速度$\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$；
（2）该星球的质量为$\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$；
（3）该星球的“第一宇宙速度”为$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力和万有引力提供向心力这个理论，并抓住万有引力与常见抛体运动之间的联系，并能灵活运用．