Question

16．如图所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T．（g取10m/s²，结果可用根式表示）求：
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω₀至少为多大？
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？

Answer 1

分析 （1）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界角速度ω₀．
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°时，小球离开锥面，由重力和细线拉力的合力提供向心力，运用牛顿第二定律求解．

解答 解：（1）若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力如图所示．小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平．
在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：
  mgtan θ=mω${\;}_{0}^{2}$lsin θ
解得：ω${\;}_{0}^{2}$=$\frac{g}{lcosθ}$，即ω₀=$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$=$\sqrt{12.5}$ rad/s．
（2）同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式有：
  mgtan α=mω′²lsin α
解得：ω′²=$\frac{g}{lcosα}$，即ω′=$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$ rad/s．
答：
（1）小球的角速度ω₀至少为$\sqrt{12.5}$ rad/s．　
（2）小球的角速度ω′为2$\sqrt{5}$ rad/s．

点评 本题的关键点在于判断小球是否离开圆锥体表面，不能直接应用向心力公式求解．