Question

11．如图甲所示，两平行金属板长度l不超过0.2m，两板间电压U随时间t变化的U-t图象如图乙所示．在金属板右侧有一左边界为MN、右边无界的匀强磁场，磁感应强度B=0.01T，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子连续不断地以速度v₀=10⁵m/s射入电场中，初速度方向沿两板间的中线OO'方向．磁场边界MN与中线OO'垂直．已知带电粒子的比荷$\frac{q}{m}$=10⁸C/kg，粒子的重力和粒子之间的相互作用力均可忽略不计．

（1）在每个粒子通过电场区域的时间内，可以把板间的电场强度看作是恒定的．请通过计算说明这种处理能够成立的理由；
（2）设t=0.1s时刻射入电场的带电粒子恰能从金属板边缘穿越电场射入磁场，求该带电粒子射出电场时速度的大小；
（3）对于所有经过电场射入磁场的带电粒子，设其射入磁场的入射点和从磁场射出的出射点间的距离为d，试判断：d的大小是否随时间变化？若不变，证明你的结论；若变化，求出d的变化范围．

Answer 1

分析 （1）粒子在垂直电场方向做匀速直线运动，求出粒子在电场中的运动时间，与电压变化的周期比较确定电场强度能视为恒定．
（2）根据偏转的电压得出出射点和入射点间的电压，根据动能定理求出粒子射出电场时的速度大小．
（3）抓住粒子在垂直电场方向上的速度不变，根据平行四边形定则求出粒子进入磁场时的速度，通过半径公式和几何关系求出进入磁场的入射点和出射点的距离，从而进行判断．

解答 解：（1）带电粒子在金属板间运动的时间为$t=\frac{l}{υ_0}≤2×{10^{-6}}$s      
电压U变化周期 T=0.2s；
由于t远小于T（T为电压U变化周期），故在t时间内金属板间的电场可视为恒定的．
（2）t=0.1 s时刻偏转电压U=100 V，
由动能定理得$\frac{1}{2}Uq=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
  代入数据解得    v₁=1.41×10⁵m/s   
（3）设某一时刻射出电场的粒子的速度为υ，速度方向与OO'夹角为θ，则$v=\frac{{v}_{0}}{cosθ}$
粒子在磁场中有 $Bqv=m\frac{{v}^{2}}{R}$，由几何关系得：d=2Rcosθ
由以上各式解得：$d=\frac{2m{v}_{0}}{Bq}$
 代入数据解得：d=0.2m，显然d不随时间变化
答：
（1）在每个粒子通过电场区域的时间内，可以把板间的电场强度看作是恒定的．计算说明见上；
（2）该带电粒子射出电场时速度的大小为1.41×10⁵m/s；
（3）d不随时间变化．

点评 本题考查带电粒子在电场中的偏转和在磁场中做圆周运动，掌握在电场中运动时在沿电场方向和垂直磁场方向上的运动规律，以及掌握在磁场中运动的半径公式，结合几何关系进行求解．