Question

17．小球以初速度v₀水平抛出，落地时速度为v₁，阻力不计，以抛出点为坐标原点，以水平初速度v₀方向为x轴正方向，以竖直向下方向为y轴正方向，求小球：
（1 ）在空中飞行时间t；
（2）抛出点离地面高度h；
（3）水平射程x；
（4 ）落地时速度v₁的反向延长线与x轴交点坐标是多少？

Answer 1

分析 （1）平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动，竖直方向的自由落体运动，根据平行四边形定则求出落地时竖直分速度v_y，由v_y=gt，求时间t．
（2）由 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$求抛出点离地面高度h；
（3）由x=v₀t求水平射程x；
（4 ）根据tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$求落地时速度与x轴方向的夹角，再由几何关系求落地时速度v₁的反向延长线与x轴交点坐标．

解答 解：（1）根据平行四边形定则可得：
    v_y=$\sqrt{{v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}}$
由v_y=gt得 t=$\frac{{v}_{y}}{g}$=$\frac{\sqrt{{v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}}}{g}$
（2）由 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得
   h=$\frac{{v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2g}$；
（3）由x=v₀t得水平射程 x=$\frac{{v}_{0}\sqrt{{v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}}}{g}$；
（4 ）设小球落地时速度与x轴方向的夹角为α．
则有 tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{{v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}}}{{v}_{0}}$
由几何关系t知落地时速度v₁的反向延长线与x轴交点坐标为 x′=x-$\frac{x}{tanα}$=$\frac{{v}_{0}（\sqrt{{v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}}-{v}_{0}）}{g}$．
答：
（1 ）在空中飞行时间t是$\frac{\sqrt{{v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}}}{g}$；
（2）抛出点离地面高度h是$\frac{{v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2g}$；
（3）水平射程x是$\frac{{v}_{0}\sqrt{{v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}}}{g}$；
（4 ）落地时速度v₁的反向延长线与x轴交点坐标是$\frac{{v}_{0}（\sqrt{{v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}}-{v}_{0}）}{g}$．

点评 解决本题的关键掌握平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，运用平行四边形定则和运动学公式求解．