Question

11．如图所示，长为l的绳子下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，当绳子拉直时，绳子与竖直方向的夹角为60°，此时，小球静止于光滑水平桌面上，重力加速度为g．则（　　）

• A． 当小球以角速度ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$做圆锥摆运动时，绳子的张力大小等于重力大小
• B． 当小球以角速度ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$做圆锥摆运动时，桌面对小球的支持力大小等于重力大小
• C． 当小球以角速度ω=2$\sqrt{\frac{g}{l}}$做圆锥摆运动时，绳子的张力大小等于重力大小的3倍
• D． 当小球以角速度ω=$\sqrt{\frac{2g}{l}}$做圆锥摆运动时，桌面对小球恰好没有支持力的作用

Answer 1

分析 小球在水平面内做匀速圆周运动，桌面对小球有支持力的作用时，由重力、水平面的支持力和绳子拉力的合力提供向心力．桌面对小球没有支持力的作用时，由重力和绳子拉力的合力提供向心力．根据牛顿第二定律，采用正交分解法列方程求解．

解答 解：AB、当小球以角速度$ω=\sqrt{\frac{g}{l}}$做圆锥摆运动时，小球的受力如图1，根据牛顿第二定律得：
Tsinθ=mω²lsinθ
解得绳子张力为：T=mg
小球竖直方向受力平衡，则桌面对小球的支持力大小为：N=mg-Tcosθ=$\frac{1}{2}mg$，故A正确，B错误．
C、当桌面对小球恰好没有支持力的作用时，小球受力如图2．设角速度为ω₀．
根据牛顿第二定律得：mgtanθ=mω₀²lsinθ
解得：ω₀=$2\sqrt{\frac{g}{l}}$
此时绳子的张力大小为：T=$\frac{mg}{cosθ}$=2mg，故C错误．
D、当小球以角速度ω=$\sqrt{\frac{2g}{l}}$做圆锥摆运动时，角速度小于临界角速度，则桌面对小球有支持力作用，故D错误．
故选：A．

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，抓住临界状态，结合牛顿第二定律进行求解，难度不大．