Question

8．如图所示，一倾角a=37°、长度为9m的固定斜面，其底端与长木板B上表面等高．原来B静止在粗糙水平地面上，左端与斜面接触但不粘连，斜面底端与木板B的上表面接触处圆滑．一可视为质点的小滑块A从斜面顶端处由静止开始下滑，最终A刚好未从木板B上滑下．已知A、B的质量相等，木板B的长度L=3m，A与斜面、B上表面间的动摩擦因数均为μ₁=0.5，B与地面的动摩擦因数为μ₂，重力加速度g取10m/s²．
（1）通过计算分析当A滑上B的上表面后，B是否仍保持静止；
（2）若B仍然静止，求出μ₂的最小值；若B滑动，求出μ₂的值．

Answer 1

分析 （1）假设A滑上B的上表面后，B仍保持静止，结合受力分析，由牛顿第二定律即可求出A的加速度，由运动学公式求出A的位移，然后与B的长度比较判断是否会滑落；
（2）由牛顿第二定律求出二者的加速度，然后由牛顿第二定律即可求出．

解答 解：（1）设A物块从斜面下滑过程中加速度大小为a₀，到达底端时速度大小为v₀，由牛顿第二定律和运动学公式得：
mgsinα-μ₁mgcosα=ma_o              　①
v₀²-0=2a_os                          ②
由①②得：v₀=6m/s
假设A滑上B的上表面后，B仍保持静止，则A在B上减速滑动至停止．
a_A=μ₁g=5m/s²　③
联立得：$x=\frac{0-{v}_{0}^{2}}{-2{a}_{A}}$=$\frac{0-{6}^{2}}{-2×5}$=3.6m＞3m　　　　　　      　④
A会从B上滑下，假设不成立．
故当A滑上B的上表面后，B与地面会发生相对滑动．　
（2）设A滑上B后，再经时间t两者达到共同速度，
A、B的加速度大小分别为：
a_A=μ₁g=5m/s²
${a}_{B}=\frac{{μ}_{1}mg-2{μ}_{2}mg}{m}=5-20{μ}_{2}$　　　　⑤
又：v₀-a_At=a_Bt　 　　　　　　　　　　  ⑥
${s}_{A}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{A}{t}^{2}$　　　　　　　　　　   ⑦
${s}_{B}=\frac{1}{2}{a}_{B}{t}^{2}$  　　　　　　　　　　　　   ⑧
S_A-S_B=L　　　　　　　　　　　　　　   ⑨
联立解得：μ₂=0.2 
答：（1）当A滑上B的上表面后，B不能仍保持静止；
（2）出μ₂的值为0.2．

点评 该题属于多物体多过程应用牛顿第二定律的情况，在解答的过程中要注意对研究对象和运动过程的把握．