Question

11．在光滑绝缘水平桌面上有一边长为2l的正方形区域abcd，e为dc边上的一点，且ec=$\sqrt{3}$l，f为bc边的中点，在bc右侧固定“V”字型足够长的绝缘弹性挡板fg、fh，两挡板与bc的夹角均为60°，俯视图如图甲所示，正方形区域abcd存在方向垂直于桌面的匀强磁场，磁感应强度大小为B₀，“V”字型区域内有垂直桌面的交变磁场，磁感应强度随时间变化如图乙所示（垂直桌面向下为磁场的正方向），其中B₁=B₀，B₂未知．一带电小球静止在e点，现使小球以平行桌面的速度v从e点射入正方形区域，经磁场偏转后，在t=0时刻恰好从f点垂直bc射出，进入“V”字型挡板内的磁场中，在t₁时刻小球撞到挡板fg，在t₁+t₂时刻（t₁、t₂均为未知）小球撞到挡板fh，然后小球又从f点返回正方形区域．若小球与挡板碰撞前后电荷量不变，沿板的分速度不变、垂直板的分速度大小不变方向相反，不计碰撞的时间及磁场变化产生的影响．求：

（1）带电小球的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）带电小球从e点射入磁场到第二次经过f点所用的时间；
（3）带电小球离开正方形磁场区域的位置．

Answer 1

分析 （1）在正方形磁场中已知粒子出射点的速度方向和出、入射点的位置，由圆的相关知识很容易找到圆心及半径，由洛仑兹力提供向心力就能求出粒子的比荷．
（2）粒子第二次经过f点，则粒子在交变的V形磁场区域内做匀速圆周运动的轨迹具有对称性，画出其轨迹，确定半径大小，从而确定B₁、B₂    与B₀的关系，从而求出周期关系，从偏转角求出在各个时间段的时间，再求出总时间．
（3）由f点进入正方形磁场后，由于速度方向变向，所以偏转方向将向上对称地打在ab边上，与e对称．

解答 解：（1）小球在正方形磁场区域内运动的轨迹如图1所示，
  由图知半径为：r=2l    
  由$r=\frac{mv}{qB}$得：$\frac{q}{m}=\frac{v}{2{B}_{0}l}$     
（2）小球在正方形区域运动的周期为：${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$  
  运动时间为：$t=\frac{{T}_{1}}{6}$  
  小球进入“V”字型磁场区域运动的轨迹如图2所示，轨迹半径仍为2l，
  周期仍为：${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，${t}_{2}=\frac{{T}_{1}}{6}$  
  小球与gf板碰后，磁感应强度为B₂，运动的轨迹半径为l 
  由$r=\frac{mv}{qB}$得：B₂=2B₀  
  周期为：${T}_{2}=\frac{πm}{q{B}_{0}}$，
运动时间为：${t}_{3}=\frac{{T}_{2}}{2}$  
  小球与fh板碰后，磁场的磁感应强度为B₀，半径仍为2l   
  周期仍为：${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，
运动时间为：${t}_{4}=\frac{{T}_{1}}{2}$  
  小球由e点射入磁场到返回到f点所用的时间：
  $t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}+{t}_{4}=\frac{{T}_{1}+{T}_{2}}{2}=\frac{3πm}{q{B}_{0}}$=$\frac{3πl}{v}$  
（3）小球再次进入正方形区域内运动的轨迹如图3所示，小球从p点离开区域，p点到b点的距
  离为$\sqrt{3}l$，距e点的距离为2l．
答：（1）带电小球的比荷为$\frac{v}{2{B}_{0}l}$．
（2）带电小球从e点射入磁场到第二次经过f点所用的时间为$\frac{3πl}{v}$．
（3）带电小球离开正方形磁场区域的位置：到b点的距
离为$\sqrt{3}l$，距e点的距离为2l．

点评 本题的关键是要画出粒子在两种磁场中的运动轨迹，由轨迹找到粒子做匀速圆周运动的圆心和半径，从而确定磁感应强度与B₀的关系，确定周期关系，从而求出粒子在每一时间段的时间，再求出总时间．要说明的是此题的解法直接利用了粒子做匀速圆周运动的半径公式和周期公式（当然推导过程也很简单），即：$r=\frac{mv}{qB}$，$T=\frac{2πm}{qB}$．