Question

8．如图所示，A，B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证定滑轮左侧细线竖直，右侧细线与斜面平行．已知B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．已知斜面倾角α=30°．
（1）若释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好要离开地面，试求A的质量M₁和A获得的最大速度v_m；
（2）若释放A后，A沿斜面下滑至位移最大时C恰好要离开地面，试求A的质量M₂；
（3）若A的质量M_A=3m，释放A后，C能否离开地面？若能离开地面，求出C刚要离开地面时A、B的速度大小．

Answer 1

分析 （1）C球刚离开地面时，弹簧的弹力等于C的重力，根据牛顿第二定律知B的加速度为零，B、C加速度相同，分别对B、A受力分析，列出平衡方程，可以求出A的质量，对B、C组成的系统由动能定理可以求出最大速度．
（2）A下滑至位移最大时，速度为0，对系统根据机械能守恒列式，A减少的重力势能等于B增加的势能
（3）判断物体C能否离开地面，取决于A的质量是否大于临界值，经判断能离开地面，再对系统运用机械能守恒即可求解

解答 解：（1）当A所受合力为零时，速度最大，此时：a_A=a_B=a_C=0，
此时C刚离开地面时，由平衡条件得：
对C：kx₂=mg，
对B：T-kx₂-mg=0，
对A：M₁gsin30°-T=0，
解得：M₁=4m；
开始时系统静止，且线上无拉力，
对B有：kx₁=mg，
解得：x₁=x₂=$\frac{mg}{k}$，
则从释放A至C刚离开地面过程中，弹性势能变化量为零，此过程中由机械能守恒得：
M₁g（x₁+x₂）sin30°-mg（x₁+x₂）=$\frac{1}{2}$（M₁+m）v²-0，解得：v=2g$\sqrt{\frac{m}{5k}}$；
（2）根据机械能守恒守恒定律${M}_{2}^{\;}g（{x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}）sin30°=mg（{x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}）$
解得：${M}_{2}^{\;}=2m$
（3）当$2m＜{M}_{A}^{\;}=3m＜4m$，C能离开地面
根据机械能守恒定律有：
${M}_{A}^{\;}g（{x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}）sin30°-mg（{x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}）$=$\frac{1}{2}（{M}_{A}^{\;}+m）{v}_{\;}^{2}$
解得：$v=g\sqrt{\frac{m}{2k}}$
答：（1）若释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好要离开地面，A的质量${M}_{1}^{\;}$为4m和A获得的最大速度${v}_{m}^{\;}$为$2g\sqrt{\frac{m}{5k}}$；
（2）若释放A后，A沿斜面下滑至位移最大时C恰好要离开地面，A的质量${M}_{2}^{\;}$为2m；
（3）若A的质量M_A=3m，释放A后，C能离开地面，C刚要离开地面时A、B的速度大小$g\sqrt{\frac{m}{2k}}$

点评 本题难度中等，根据各物体的受力判断运动的临界点是关键，系统在只有重力或弹力做功的情况下机械能守恒，物体所受合外力最大时加速度最大，注意A刚要离开地面时，弹簧的伸长量和刚开始的压缩量相同，所以弹性势能的变化量是0．