Question

2．如图，直角棱镜ABC置于空气中，∠A=30°，AB边长为2a．一束单色光在AB边中点D处以某一入射角射入棱镜，在AC边上恰好发生全反射后，垂直BC边射出．已知真空中光速为c．求：
（i）入射角θ的正弦值；
（ii）单色光通过棱镜的时间t．

Answer 1

分析 （i）根据题意作出光路图．光线在E点发生全反射，入射角等于临界角．由几何知识求出光线射到AC面时的入射角，即可由临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，求得折射率．在D点，根据折射定律求θ的正弦值；
（ii）由v=$\frac{c}{n}$求出光在玻璃中的传播速度，由几何知识求出光在玻璃中传播的路程，即可求解时间t．

解答 解：（i）作出如图光路，在E点全反射，入射角等于临界角C，由几何关系得：C=60°

则棱镜的折射率为 n=$\frac{1}{sinC}$=$\frac{1}{sin60°}$…①
在D点，由几何知识，折射角为 r=30°，根据折射定律有：
n=$\frac{sinθ}{sinr}$…②
由①②式得：sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$…③
（ii）光在棱镜中的传播速度为：v=$\frac{c}{n}$…④
由几何关系，DE=a，EF=$\frac{a}{2}$…⑤
单色光沿DEF传播的时间即为通过棱镜的时间为：
t=$\frac{DE+EF}{v}$…⑥
由①④⑤⑥式得：t=$\frac{\sqrt{3}a}{c}$…⑦
答：（i）入射角θ的正弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（ii）单色光通过棱镜的时间t是$\frac{\sqrt{3}a}{c}$．

点评 解决本题的关键是掌握全反射的条件和折射定律．解题时，要规范地画出光路图，并结合几何关系进行分析研究．