Question

8．如图所示，半径分别为a和2a的同心圆形导轨上有一长为a的金属棒AB，绕圆心O匀速转动，AB延长线通过圆心，圆环内分布有垂直于纸面向外的匀强磁场．通过电刷把两圆环与两竖直平行金属板P、Q连接与如图所示的电路，R₁、R₂是定值电阻．带正电的小球通过绝缘细线挂在两板间M点，被拉起到水平位置；合上开关K，无初速度释放小球，小球沿圆弧经过M点正下方的N点的另一侧．
已知：磁感应强度为B；棒的角速度大小为ω，电阻为r：R₁=R₂=2r，圆环电阻不计：P、Q两板间距为d：带电小球的质量为m、电量为q；重力加速度为g．求：
（1）棒匀速转动的方向：
（2）P、Q间电场强度E的大小；
（3）小球通过N点时对细线拉力F_T的大小；
（4）假设释放后细线始终没有松弛，求最大偏角θ．

Answer 1

分析 （1）根据小球摆动的高度确定极板的极性，根据右手定则判断导体棒转动方向；
（2）根据法拉第电磁感应定律可得电动势，根据闭合电路的欧姆定律PQ的电压，再根据电场强度计算公式求解电场强度；
（3）设细绳长度为L，小球到达N点时的速度为v，根据动能定理和牛顿第二定律求解小球通过N点时对细线拉力F_T的大小；
（4）设动能最大的位置偏角为β，根据几何关系求解最大偏角．

解答 解：（1）根据题意可得：小球从水平位置释放后，能沿圆弧向下摆动，故小球受到电场力方向水平向右，P板带正电、Q板带负电，根据右手定则可知，导体棒逆时针转动；
（2）导体棒转动切割磁感应线，根据法拉第电磁感应定律可得电动势E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{3Bω{a}^{2}}{2}$，
根据闭合电路的欧姆定律可得：I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}+r}$，
则PQ的电压为：U=IR₂，
故PQ间的电场强度大小为：E_场强=$\frac{U}{d}$，
联立解得：E_场强=$\frac{3Bω{a}^{2}}{5d}$；
（3）设细绳长度为L，小球到达N点时的速度为v，根据动能定理可得：
mgL-qE_电场L=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
由于F_T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，
解得：F_T=3mg-$\frac{6qBω{a}^{2}}{5d}$；
（4）设动能最大的位置偏角为β，则tanβ=$\frac{mg}{q{E}_{电场}}$，
所以θ=2β=2arctan$\frac{mg}{q{E}_{电场}}$=2arctan$\frac{5mgd}{3qBω{a}^{2}}$．
答：（1）棒匀速转动的方向为逆时针：
（2）P、Q间电场强度E的大小为$\frac{3Bω{a}^{2}}{5d}$；
（3）小球通过N点时对细线拉力F_T的大小为3mg-$\frac{6qBω{a}^{2}}{5d}$；
（4）假设释放后细线始终没有松弛，最大偏角为2arctan$\frac{5mgd}{3qBω{a}^{2}}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，根据牛顿第二定律或平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．