Question

11．甲、乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以16m/s的初速度，大小为2m/s²的加速度做匀减速直线运动，乙车以2m/s的初速度，1m/s²的加速度做匀加速直线运动，求：
（1）两车相遇前，两车之间的最大距离；
（2）两车相遇时，它们运动的时间．

Answer 1

分析 （1）当两车速度相等时，两车相距最远，结合速度时间公式求出速度相等的时间，结合位移公式得出两车的最大距离．
（2）结合速度位移公式求出甲车速度减为零的位移，判断乙车是否追上，再抓住位移关系，结合运动学公式进行追及的时间．

解答 解：（1）依据题意，当两车速度相同时有最大距离，则：
v_甲=v_0甲+a_甲t=16-2t 
v_乙=v_0乙+a_乙t=2+t 
又v_甲=v_乙
联立解得：t=$\frac{14}{3}s$
故：x_max=x_甲-x_乙=${v}_{0甲}+\frac{1}{2}{a}_{甲}{t}^{2}-（{v}_{0乙}t+\frac{1}{2}{a}_{乙}{t}^{2}）$
=16×$\frac{14}{3}-\frac{1}{2}×2×（\frac{14}{3}）^{2}-[2×\frac{14}{3}+\frac{1}{2}×1×（\frac{14}{3}）^{2}]$
=$\frac{98}{3}$m
（2）甲车做减速运动，8s后停下来
${x}_{甲}={v}_{0甲}t+\frac{1}{2}{a}_{甲}{t}^{2}=16t-{t}^{2}$
x_乙=${v}_{0乙}t+\frac{1}{2}{a}_{0乙}{t}^{2}=2t+\frac{1}{2}{t}^{2}$
由x_甲=x_乙得：
t=$\frac{28}{3}s$＞8s，即甲车在乙车追上前已停止运动
甲车位移：${x}_{甲}=\frac{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2{a}_{甲}}=\frac{0-1{6}^{2}}{-2×2}=64m$
乙车追上时满足x_甲=x_乙得：
t=2$\sqrt{33}$-2≈9.5s
答：（1）两车相遇前，两车之间的最大距离为$\frac{98}{3}$m；
（2）两车相遇时，它们运动的时间为9.5s．

点评 本题考查运动学中的追及问题，求解追及时间时，注意甲车速度减为零后不再运动，所以需判断甲车速度减为零时是否追上．