Question

5．如图所示，在平面直角坐标系第三象限内有沿+y方向的匀强电场；在第一象限内有垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B=$\frac{{mv}_{0}}{qd}$，图中电场及磁场的边界均未画出，一个质量为m、电量为+q的粒子以初速度v₀自点P（-2$\sqrt{3}$d，-d）沿+x方向运动，恰经原点O进入第一象限，不计粒子重力．
（1）求匀强电场的电场强度大小；
（2）若该匀强磁场B位于x≥9d的区域内，求粒子经过坐标轴时的坐标；
（3）若该匀强磁场B位于某一矩形区域内，粒子穿过磁场后，最终从x轴上的点Q（9d，0）处沿-y方向进入第四象限，求该矩形磁场的最小面积．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，将粒子的运动分解即可；
（2）由粒子在电场中的运动，求出粒子沿竖直方向的分速度，然后求出粒子进入磁场的坐标；由洛伦兹力提供向心力求出粒子做匀速圆周运动 半径，然后又几何关系即可求出粒子粒子经过坐标轴时的坐标；
（3）粒子穿过磁场后，最终从x轴上的点Q（9d，0）处沿-y方向进入第四象限，画出粒子运动的轨迹，即可确定该矩形磁场的最小面积．

解答 解：（1）沿x轴方向：$2\sqrt{3}d$=v₀t…①
沿y轴方向：d=$\frac{1}{2}$at²…②
根据牛顿第二定律：a=$\frac{qE}{m}$…③
由①②③式得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qd}$
（2）y轴方向的速度：v_y=at=$\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$…④
速度和x轴方向的夹角：tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$…⑤
所以：α=30°
粒子到达磁场的边界时，纵坐标：$y=9d•tan30°=3\sqrt{3}d$
粒子速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$…⑥
粒子进入磁场后，根据左手定则可知粒子沿顺时针方向偏转，洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…⑦
由几何关系有：r=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}d$…⑧
由于y=4.5r，所以粒子不能直接经过x轴，而是在磁场中偏转300°后又射出磁场，然后做匀速直线运动，从y轴上的A经过坐标轴，其轨迹如图．

粒子在磁场中偏转的角度是300°，所以射出点在射入点的下方r处．由几何关系可知A点的纵坐标：${y}_{A}=2y-r=\frac{16\sqrt{3}}{3}d$，
A点的坐标为：（0，$\frac{16\sqrt{3}}{3}$）
（3）若该匀强磁场B位于某一矩形区域内，粒子穿过磁场后，最终从x轴上的点Q（9d，0）处沿-y方向进入第四象限，其轨迹如图，则：

由几何关系可得，磁场的最小高度等于轨迹的半径，磁场的最小宽度：L=r+rcos60°=1.5r
所以该矩形磁场的最小面积：${S}_{min}=r•1.5r=1.5{r}^{2}=2{d}^{2}$
答：（1）匀强电场的电场强度大小是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qd}$；
（2）若该匀强磁场B位于x≥9d的区域内，粒子经过坐标轴时的坐标是（0，$\frac{16\sqrt{3}}{3}$）；
（3）该矩形磁场的最小面积是2d²．

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，注意在磁场中的运动要注意几何关系的应用，在电场中注意由类平抛运动的规律求解．