Question

17．如图所示，一个半径为R、电荷量为+Q的均匀带电圆环固定在真空中，环心为O，MN是其中轴线．现让一电荷量为-q、质量为m的带电粒子从MN上的P点由静止释放，P、O间的距离为d．不计粒子重力．试证明：当d＜＜R时，带电粒子做简谐运动．

Answer 1

分析 分析圆环在x轴上产生的电场分布，根据带电粒子受力情况明确是否满足简谐运动的回复力条件；则可证明．

解答 解：
沿圆环的轴线建立坐标轴，O是原点．把圆环分成若干等份，每一份都很小，可视为点电荷．设每一份的电荷量为△Q，则它在x轴上某一点沿x轴方向的场强$△E=k\frac{△Q}{{{x^2}+{R^2}}}•\frac{x}{{\sqrt{{x^2}+{R^2}}}}=k\frac{△Q•x}{{{{（{x^2}+{R^2}）}^{\frac{3}{2}}}}}$，由场的叠加原理和对称性可知，圆环在这一点的合场强$E=\frac{kQ}{{{{（{x^2}+{R^2}）}^{\frac{3}{2}}}}}x$．当x＜＜R时，${（{x^2}+{R^2}）^{\frac{3}{2}}}≈{R^3}$，则圆环在轴线上的场强$E≈\frac{kQ}{R^3}x$，即E∝x，所以带电粒子在运动过程中所受的电场力大小F∝x，又因为F的方向与位移x的方向相反，所以当d＜＜R时，粒子做简谐运动．
故可证．

点评 本题要注意分析场的叠加原理和对称性；也可以由以下证明方法：带电圆环轴线上的场强E随x的变化关系与图象相似．当d＜＜R时，在x∈[-d，d]区间内E-x图象可近似看做一条直线，即E∝x，所以带电粒子在运动过程中所受的电场力大小F∝x，又因为F的方向与位移x的方向相反，所以当d＜＜R时，粒子做简谐运动．