Question

8．如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的四分之一圆弧轨道PQ，其中半径OP水平、OQ竖直，现从圆心O处以不同的初速度水平抛出一系列质量为m的相同小球，这些小球都落到了圆轨道上，不计空气阻力，重力加速度为g．
（1）若小球从抛出到击中轨道所用时间为$\sqrt{\frac{R}{g}}$，求小球平抛的初速度v₀．
（2）某同学认为初速度越小，则小球撞击轨道的动能越小；另一同学认为初速度越大，小球落到圆弧轨道时下降的高度越小，则小球撞击轨道的动能越小，请通过推理说明你的观点．

Answer 1

分析 小球做平抛运动，根据平抛运动的规律得到初速度；
根据动能定理得到小球落到圆弧上时的动能与下落高度的关系，再根据数学知识分析即可．

解答 解：（1）如图乙所示，对小球，有：
竖直方向：y=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{1}{2}$R　
水平方向x=$\sqrt{{R}^{2}-{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R　
平抛的初速度v₀=$\frac{x}{t}$=$\frac{\sqrt{3gR}}{2}$．
（2）设小球以初速度v抛出并撞到轨道上，根据动能定理得：
mgy'=E_k-$\frac{1}{2}$mv²　
且x'=vt'
y'=$\frac{1}{2}$gt'²　
x'²+y'²=R²　
解得E_k=mg（$\frac{3}{4}$y'+$\frac{{R}^{2}}{4y'}$）　
当$\frac{3}{4}$y'=$\frac{{R}^{2}}{4y'}$，即y'=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R时，小球撞击轨道的动能有最小值，E_k有最小值，在初速度不断增大的过程中，小球的动能先减小后增大．
综上所述，两位学生的观点都不正确．
答：（1）小球平抛的初速度v₀为$\frac{\sqrt{3gR}}{2}$；
（2）两位学生的观点都不正确

点评 本题第二小问中采用数学上的函数法，得到动能与y的解析式，由数学不等式法分析动能的变化情况．