Question

3．在水平光滑的绝缘桌面内建立如图所示的直角坐标系，将第Ⅰ、第Ⅱ象限合称为区域一，第Ⅲ、Ⅳ象限合称为区域二，其中一个区域内有大小、方向均未标明的匀强电场，另一个区域内有大小为2×10^-2T、方向垂直于水平桌面的匀强磁场．把一个比荷为$\frac{q}{m}$=2×10⁸C/kg的正电荷从坐标为（0，-1）的A点处由静止释放，电荷沿直线AC运动并从坐标为（1，0）的C点第一次经x轴进入区域一，经过一段时间，从坐标原点0再次回到区域二（重力不计）．
（1）指出哪个区域是电场、哪个区域是磁场以及电场和磁场的方向；
（2）求电荷在磁场里作匀速圆周运动的轨道半径r和匀强电场强度E的大小；
（3）求从释放到第二次经过x轴电荷运动的时间t．

Answer 1

分析 （1）由A静止释放到C的运动可知区域二是电场，区域一为磁场；由运动方向可判断电场和磁场的方向．
（2）电荷在区域二中做匀加速直线运动，进入区域一后做匀速圆周运动，应用运动学公式和圆周运动的半径公式即可求出电场强度的大小．
（3）电荷从坐标原点O第二次经过x轴进入区域Ⅱ，速度方向与电场方向垂直，电荷在电场中做类平抛运动，在电场方向上做初速度为零的匀加速直线运动，在垂直于电场的方向上做匀速直线运动，应用平抛运动的知识可求解．

解答 解：（1）由对电荷的运动描述可知区域一是磁场，方向垂直纸面向里．区域二是电场，方向由A指向C．
（2）设电场强度的大小为E，电荷从C点进入区域Ⅰ的速度为v．从A到C电荷做初速度为零的匀加速直线运动，且过C点时速度方向与x轴正方向成45°角，则有：v²=2as=2$\frac{qE}{m}$s
电荷进入区域Ⅰ后，在洛仑兹力的作用下做匀速圆周运动，运动轨迹如图，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
由题意及几何关系有：
$\frac{q}{m}$=2×10⁸，B=2×10^-2T，s=$\sqrt{2}$m  r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m
由以上各式可得：E=$\sqrt{2}$×10⁴V/m
（3）电荷从坐标原点O第二次经过x轴进入区域Ⅱ，速度方向与电场方向垂直，电荷在电场中做类平抛运动，设经过时间t电荷第三次经过x轴．有：
tan45°=$\frac{\frac{1}{2}a{t}^{2}}{vt}$
解得：t=2.18×10^-6s
答：（1）区域一是磁场，方向垂直纸面向里．区域二是电场，方向由A指向C．
（2）电场强度的大小为$\sqrt{2}$×10⁴V/m；
（3）从释放到第二次经过x轴电荷运动的时间t为2.18×10^-6s．

点评 粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等．解决此类问题常用的方法：画图→动态分析→找轨迹．（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了──这一般都不难．）