Question

12．将长为l的玻璃圆柱体沿轴剖开后得到一块半圆柱体，其截面的正视图如图所示，MNPQ为其底面（PQ图中未画出），MN为直径．已知半圆的圆心为O、半径为R，玻璃的折射率n=$\sqrt{2}$．一束与MNPQ所在平面成45°且垂直于轴的平行光束射到半圆柱面上，经折射后，有部分光能从MNPQ面射出，忽略经多次反射到达MNPQ面的光线，求MNPQ透光部分的面积．

Answer 1

分析 光线射到MN上时会发生全反射现象，从而不能从MN射出；根据临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角C，根据几何关系确定能从MN射出的光线范围，由几何知识求解面积．

解答 解：设光由介质射向空气的临界角为C．
由 sinC=$\frac{1}{n}$，得 C=45°
   从A点进入玻璃砖的光线垂直半球面，沿半径AO直达球心O，且入射角等于临界角，恰好在O点发生全反射，A点左侧的光线经球面折射后，射在MN上的入射角都大于临界角，在MN上全反射，不能从MN上射出．A点右侧光线一直到与球面正好相切的范围内的光线经球面折射后，在MN上的入射角均小于临界角，都能从MN上射出，它们在MN上的出射宽度就是OD．
   由折射定律得
   $\frac{sini}{sinr}$=n
MN上透光部分的长度：
  OD=Rsinr
MNPQ平面内透光部分面积为：
  S=OD•l=$\frac{\sqrt{2}}{2}$Rl
答：MNPQ透光部分的面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}$Rl．

点评 解决本题的关键要掌握全反射及其产生条件，结合几何知识确定边界光线，要规范作图，有利于答题．