题目内容

10．如图甲所示，两个平行正对的金属板P、Q水平放置，两板中间的区域有垂直纸面向里的匀强磁场，同时P、Q两板间加有交变电压，因此两板中间的区域还存在交变电场．交变电场的变化规律如图乙所示．现有一质量为m、电荷量为q的带正电微粒，以速度v从O点沿P、Q两板的中轴线OO′射入复合场区，且能从O′点沿水平方向射出．已知微粒在两板间的复合场区做直线运动或匀速圆周运动．重力加速度为g、交变电场的周期为T．
（1）计算P、Q间复合场区磁场的磁感应强度大小B以及交变电场的场强大小E0．
（2）如果微粒在复合场中运动的时间超过$\frac{T}{2}$，计算极板P、Q的最小距离d与极板的最小长度L、交变电场周期T的可能值．

分析 （1）粒子在复合场中受到重力、电场力与洛伦兹力作用而做匀速直线运动，则合力为零；粒子在三个力作用下做匀速圆周运动，则重力与电场力合力为零，洛伦兹力提供向心力，应用平衡条件可以求出电场强度与磁感应强度．
（2）粒子在复合场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律可以求出粒子的轨道半径，然后求出极板间的最小距离；根据粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期求出电场的周期；应用速度公式求出极板可能的长度，然后求出极板的最小长度．

解答 解：（1）粒子在极板间受重力、电场力与洛伦兹力作用，
粒子做匀速直线运动，由平衡条件得：qvB=mg+qE0，
粒子做匀速圆周运动，重力与电场力合力为零，
洛伦兹力提供向心力，则：mg=qE0，
解得：E0=$\frac{mg}{q}$，B=$\frac{2mg}{qv}$；
（2）粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{{v}^{2}}{2g}$，
粒子从两板中间射入，粒子做匀速圆周运动，
设极板间最小距离为d，则：2r=$\frac{d}{2}$，解得：d=$\frac{2{v}^{2}}{g}$；
粒子在极板间做匀速圆周运动的周期：T0=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πv}{g}$，
粒子做圆周运动的周期与电场周期T间的关系为：
$\frac{T}{2}$=nT0，周期：T=$\frac{2nπv}{g}$ （n=1、2、3…），
极板的长度：L=v$\frac{T}{2}$=$\frac{nπ{v}^{2}}{g}$ （n=1、2、3…）
极板间的最小长度：L最小=$\frac{π{v}^{2}}{g}$；
答：（1）磁感应强度大小B为$\frac{2mg}{qv}$，交变电厂的场强大小E0为$\frac{mg}{q}$．
（2）极板P、Q的最小距离d为$\frac{2{v}^{2}}{g}$，极板的最小长度L为$\frac{π{v}^{2}}{g}$，交变电场周期T的可能值为：$\frac{2nπv}{g}$ （n=1、2、3…）．

点评 本题考查了粒子在复合场中的运动，根据粒子运动情况与受力情况确定各力间的关系是解题的关键；应用平衡条件可以求出电场强度与磁感应强度；应用牛顿第二定律与粒子做圆周运动的周期公式可以解题．

练习册系列答案
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B．将导线沿东西方向放置并通入恒定电流，小磁针一定会发生转动
C．将导线沿南北方向放置并通入恒定电流，增大导线与小磁针之间的距离，小磁针转动的角度会随之增大
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A．第一次释放A、B后，A上升至弹簧恢复原长时的速度v1=$\sqrt{2gH}$
B．第一次释放A、B后，B刚要离地时A的速度v2=$\sqrt{gH-\frac{2{E}_{P}}{m}}$
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