Question

6．类比法经常用到科学研究中．科学家在探索未知领域的规律时，常常将在未知新领域实验中得到的测量结果和实验现象与已知的物理规律作类比，从而推测出未知领域可能存在的规律．然后再通过实验进行检验，以确定类比得到的结论是否正确．
经典物理告诉我们，若规定相距无穷远时引力势能为0，则两个质点间引力势能的表达式为E_P=-G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{r}$，其中G为引力常量，m₁、m₂为两个质点的质量，r为两个质点间的距离．
（1）把电荷之间相互作用的力及电势能与万有引力及引力势能作类比，我们可以联想到电荷之间相互作用的力及电势能的规律．在真空中有带电荷量分别为+q₁和-q₂的两个点电荷，若取它们相距无穷远时电势能为零，已知静电力常量为k，请写出当它们之间的距离为r时相互作用的电势能的表达式．
（2）科学家在研究顶夸克性质的过程中，发现了正反顶夸克之间的强相互作用势能也有与引力势能类似的规律，根据实验测定，正反顶夸克之间的强相互作用势能可表示为E_P=-$\frac{A}{r}$，其中A是已知数值为正的常量，r为正反顶夸克间的距离．请根据上述信息，推测正反顶夸克之间强相互作用力大小的表达式（用A和r表示）．
（3）如果正反顶夸克在彼此间相互作用下绕它们连线的中点做稳定的匀速圆周运动，若正反顶夸克系统做匀速圆周运动的周期比正反顶夸克本身的寿命小得多，则一对正反顶夸克可视为一个处于“束缚状态”的系统．已知正反顶夸克质量都是m（不考虑相对论效应），根据玻尔理论，如果正反顶夸克粒子系统处于束缚态，正反顶夸克粒子系统必须像氢原子一样满足的量子化条件为：mv_nr_n=n$\frac{h}{2π}$，n=1，2，3…
式中n称为量子数，可取整数值1，2，3，…，h为普朗克常量，r_n为系统处于量子数为n的状态时正反顶夸克之间的距离，v_n是系统处于该状态时正反顶夸克做圆周运动的速率．
若实验测得正反顶夸克的寿命为τ=0.40×10^-24s，并且已知组合常数$\frac{{h}^{3}}{{A}^{2}m}$=3.6×10^-23s，其中A为（2）中的常数．根据已知条件在以上模型中通过计算判断，正反顶夸克能否构成一个处在束缚状态的系统？

Answer 1

分析 （1）因为真空中的点电荷之间的相互作用力与万有引力的规律相似，则引力势能的表达式相似，由此分析．
（2）类比引力势能公式和强相互作用势能公式，可以推导正反顶夸克之间强相互作用力表达式；
（3）设基态时顶夸克粒子的线速度大小为v₁，根据牛顿定律和玻尔理论列方程求解粒子运动周期，根据周期关系判断正反顶夸克的束缚态是否可能存在．

解答 解：（1）因为真空中的点电荷之间的相互作用力的F_电=k$\frac{{q}_{1}{q}_{2}}{{r}^{2}}$，这与万有引力的规律F_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$相似，且都具有做功与路径无关的特点．
在规定无穷远处引力势能为零的情况下，在物体由无穷远到相距为r的过程中，引力做正功，引力势能减小，所以引力势能为负值．同样，两个带异号电性的点电荷由无穷远到相距为r的过程中，静电力做正功，电势能减小，所以电势能为负值．
在真空中有带电荷量分别为+q₁和-q₂的两个点电荷，当它们之间的距离为r时相互作用的电势能的表达式为E_电=-k$\frac{{q}_{1}{q}_{2}}{r}$．
（2）类比引力势能公式和强相互作用势能公式，可知强相互作用力为引力．
质点间引力表达式为F=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，类比可知，正反顶夸克之间强相互作用力表达式为：F=$\frac{A}{{r}^{2}}$；
（3）设基态时顶夸克粒子的线速度大小为v₁，各自的半径都是$\frac{1}{2}{r}_{1}$，根据牛顿定律：$\frac{A}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{\frac{1}{2}{r}_{1}}$
基态时n=1，根据玻尔理论：mv₁r₁=$\frac{h}{2π}$，
联立上述二式可得：${r}_{1}=\frac{{h}^{2}}{2{π}^{2}Am}$
根据牛顿定律$\frac{A}{{r}_{1}^{2}}=m•\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}•\frac{1}{2}{r}_{1}$
联立④⑤可得T₁=$\frac{{h}^{3}}{2{π}^{2}{A}^{2}m}$
代入数据，解得 T₁=1.8×10^-24s
由此可见τ＜T₁，
因为处于基态时，正反顶夸克做圆周运动的周期比所有的激发态的周期都短，所以在该模型中正反顶夸克做圆周运动的周期一定大于正反顶夸克的寿命，故正反顶夸克的束缚态是不可能存在的．
答：（1）它们之间的距离为r时相互作用的电势能的表达式为E_电=-k$\frac{{q}_{1}{q}_{2}}{r}$．
（2）正反顶夸克之间强相互作用力大小的表达式为F=$\frac{A}{{r}^{2}}$．
（3）根据已知条件推测，正反顶夸克的束缚态是不可能存在的．

点评 本题主要是通过万有引力定律和库仑定律的表达式相似进行类比分析，得到引力势能和分子势能的相似表达式；进一步根据牛顿第二定律和波尔理论进行推导延伸，突出表现类比法的应用．